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Theorem fz0fzelfz0 8984
Description: If a member of a finite set of sequential integers with a lower bound being a member of a finite set of sequential nonnegative integers with the same upper bound, this member is also a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0fzelfz0 |- ( ( N e. ( 0 ... R ) /\ M e. ( N ... R ) ) -> M e. ( 0 ... R ) )
Proof of Theorem fz0fzelfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 8973 . . . 4 |- ( N e. ( 0 ... R ) <-> ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) )
2 elfz2 8881 . . . . . 6 |- ( M e. ( N ... R ) <-> ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) )
3 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M e. ZZ )
4 0red 7028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> 0 e. RR )
5 nn0re 8190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
65adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> N e. RR )
7 zre 8249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
87adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> M e. RR )
94, 6, 83jca 1084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) )
109adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) )
11 nn0ge0 8207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
1211adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> 0 <_ N )
1312anim1i 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> ( 0 <_ N /\ N <_ M ) )
14 letr 7101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( 0 <_ N /\ N <_ M ) -> 0 <_ M ) )
1510, 13, 14sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> 0 <_ M )
16 elnn0z 8258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) )
173, 15, 16sylanbrc 394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M e. NN0 )
1817exp31 346 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> ( M e. ZZ -> ( N <_ M -> M e. NN0 ) ) )
1918com23 72 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ M -> ( M e. ZZ -> M e. NN0 ) ) )
20193ad2ant1 925 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> ( N <_ M -> ( M e. ZZ -> M e. NN0 ) ) )
2120com13 74 . . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( N <_ M -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> M e. NN0 ) ) )
2221adantrd 264 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( ( N <_ M /\ M <_ R ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> M e. NN0 ) ) )
23223ad2ant3 927 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( N <_ M /\ M <_ R ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> M e. NN0 ) ) )
2423imp 115 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> M e. NN0 ) )
2524imp 115 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) /\ ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) -> M e. NN0 )
26 simpr2 911 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) /\ ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) -> R e. NN0 )
27 simplrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) /\ ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) -> M <_ R )
2825, 26, 273jca 1084 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) /\ ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) )
2928ex 108 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) )
302, 29sylbi 114 . . . . 5 |- ( M e. ( N ... R ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) )
3130com12 27 . . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> ( M e. ( N ... R ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) )
321, 31sylbi 114 . . 3 |- ( N e. ( 0 ... R ) -> ( M e. ( N ... R ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) )
3332imp 115 . 2 |- ( ( N e. ( 0 ... R ) /\ M e. ( N ... R ) ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) )
34 elfz2nn0 8973 . 2 |- ( M e. ( 0 ... R ) <-> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) )
3533, 34sylibr 137 1 |- ( ( N e. ( 0 ... R ) /\ M e. ( N ... R ) ) -> M e. ( 0 ... R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   /\ w3a 885   e. wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   RRcr 6888   0cc0 6889   <_ cle 7061   NN0cn0 8181   ZZcz 8245   ...cfz 8874
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875
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