ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvtp1g Unicode version

Theorem fvtp1g 5369
Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fvtp1g  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C ) )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. } `  A
)  =  D )

Proof of Theorem fvtp1g
StepHypRef Expression
1 df-tp 3383 . . 3  |-  { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. }  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } )
21fveq1i 5179 . 2  |-  ( {
<. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. , 
<. C ,  F >. } `
 A )  =  ( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )
3 necom 2289 . . . . 5  |-  ( A  =/=  C  <->  C  =/=  A )
4 fvunsng 5357 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  =/=  A )  -> 
( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A ) )
53, 4sylan2b 271 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  =/=  C )  -> 
( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A ) )
65ad2ant2rl 480 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C ) )  -> 
( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A ) )
7 fvpr1g 5367 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A
)  =  D )
873expa 1104 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( { <. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. } `
 A )  =  D )
98adantrr 448 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C ) )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A
)  =  D )
106, 9eqtrd 2072 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C ) )  -> 
( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )  =  D )
112, 10syl5eq 2084 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C ) )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. } `  A
)  =  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    = wceq 1243    e. wcel 1393    =/= wne 2204    u. cun 2915   {csn 3375   {cpr 3376   {ctp 3377   <.cop 3378   ` cfv 4902
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-tp 3383  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-res 4357  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910
This theorem is referenced by:  fvtp2g  5370  fvtp1  5372
  Copyright terms: Public domain W3C validator