Theorem fvpr2g 5368

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr2g	|- ( ( B e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = D )

Proof of Theorem fvpr2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 3446	. . . . . 6 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = { <. B , D >. , <. A , C >. }
2		df-pr 3382	. . . . . 6 |- { <. B , D >. , <. A , C >. } = ( { <. B , D >. } u. { <. A , C >. } )
3	1, 2	eqtri 2060	. . . . 5 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. B , D >. } u. { <. A , C >. } )
4	3	fveq1i 5179	. . . 4 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = ( ( { <. B , D >. } u. { <. A , C >. } ) ` B )
5		fvunsng 5357	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A =/= B ) -> ( ( { <. B , D >. } u. { <. A , C >. } ) ` B ) = ( { <. B , D >. } ` B ) )
6	4, 5	syl5eq 2084	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = ( { <. B , D >. } ` B ) )
7	6	3adant2 923	. 2 |- ( ( B e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = ( { <. B , D >. } ` B ) )
8		fvsng 5359	. . 3 |- ( ( B e. V /\ D e. W ) -> ( { <. B , D >. } ` B ) = D )
9	8	3adant3 924	. 2 |- ( ( B e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. B , D >. } ` B ) = D )
10	7, 9	eqtrd 2072	1 |- ( ( B e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   =/= wne 2204   u. cun 2915   {csn 3375   {cpr 3376   <.cop 3378   ` cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-res 4357  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910

This theorem is referenced by: (None)