Theorem fnmpt2i 5830

Description: Functionality and domain of a class given by the "maps to" notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt2.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
fnmpt2i.2	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
fnmpt2i	|- F Fn ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem fnmpt2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpt2i.2	. . 3 |- C e. _V
2	1	rgen2w 2377	. 2 |- A. x e. A A. y e. B C e. _V
3		fmpt2.1	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
4	3	fnmpt2 5828	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. _V -> F Fn ( A X. B ) )
5	2, 4	ax-mp 7	1 |- F Fn ( A X. B )

Syntax hints:   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   _Vcvv 2557   X. cxp 4343   Fn wfn 4897   |-> cmpt2 5514

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-fv 4910  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768

This theorem is referenced by:  dmmpt2  5831  fnoa  6027  fnom  6030  fnoei  6032