Theorem fnasrng 5343

Description: A function expressed as the range of another function. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnasrng	|- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) )

Proof of Theorem fnasrng

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmptg 5342	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )
2		eqid 2040	. . . . 5 |- ( x e. A |-> <. x , B >. ) = ( x e. A |-> <. x , B >. )
3	2	rnmpt 4582	. . . 4 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = { y | E. x e. A y = <. x , B >. }
4		velsn 3392	. . . . . 6 |- ( y e. { <. x , B >. } <-> y = <. x , B >. )
5	4	rexbii 2331	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. { <. x , B >. } <-> E. x e. A y = <. x , B >. )
6	5	abbii 2153	. . . 4 |- { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } } = { y | E. x e. A y = <. x , B >. }
7	3, 6	eqtr4i 2063	. . 3 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } }
8		df-iun 3659	. . 3 |- U_ x e. A { <. x , B >. } = { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } }
9	7, 8	eqtr4i 2063	. 2 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = U_ x e. A { <. x , B >. }
10	1, 9	syl6eqr 2090	1 |- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1243   e. wcel 1393   {cab 2026   A.wral 2306   E.wrex 2307   {csn 3375   <.cop 3378   U_ciun 3657   |-> cmpt 3818   ran crn 4346

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909

This theorem is referenced by:  resfunexg  5382