ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fmptap Unicode version

Theorem fmptap 5353
Description: Append an additional value to a function. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptap.0a  |-  A  e. 
_V
fmptap.0b  |-  B  e. 
_V
fmptap.1  |-  ( R  u.  { A }
)  =  S
fmptap.2  |-  ( x  =  A  ->  C  =  B )
Assertion
Ref Expression
fmptap  |-  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( x  e.  S  |->  C )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, R    x, S
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem fmptap
StepHypRef Expression
1 fmptap.0a . . . . 5  |-  A  e. 
_V
2 fmptap.0b . . . . 5  |-  B  e. 
_V
3 fmptsn 5352 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { <. A ,  B >. }  =  ( x  e.  { A }  |->  B ) )
41, 2, 3mp2an 402 . . . 4  |-  { <. A ,  B >. }  =  ( x  e.  { A }  |->  B )
5 elsni 3393 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
6 fmptap.2 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  C  =  B )
75, 6syl 14 . . . . 5  |-  ( x  e.  { A }  ->  C  =  B )
87mpteq2ia 3843 . . . 4  |-  ( x  e.  { A }  |->  C )  =  ( x  e.  { A }  |->  B )
94, 8eqtr4i 2063 . . 3  |-  { <. A ,  B >. }  =  ( x  e.  { A }  |->  C )
109uneq2i 3094 . 2  |-  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  ( x  e. 
{ A }  |->  C ) )
11 mptun 5029 . 2  |-  ( x  e.  ( R  u.  { A } )  |->  C )  =  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  ( x  e.  { A }  |->  C ) )
12 fmptap.1 . . 3  |-  ( R  u.  { A }
)  =  S
13 mpteq1 3841 . . 3  |-  ( ( R  u.  { A } )  =  S  ->  ( x  e.  ( R  u.  { A } )  |->  C )  =  ( x  e.  S  |->  C ) )
1412, 13ax-mp 7 . 2  |-  ( x  e.  ( R  u.  { A } )  |->  C )  =  ( x  e.  S  |->  C )
1510, 11, 143eqtr2i 2066 1  |-  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( x  e.  S  |->  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1243    e. wcel 1393   _Vcvv 2557    u. cun 2915   {csn 3375   <.cop 3378    |-> cmpt 3818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator