ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ffvresb Unicode version

Theorem ffvresb 5271
Description: A necessary and sufficient condition for a restricted function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ffvresb  Fun 
F  F  |`  : --> 
dom  F  F `
Distinct variable groups:   ,   ,   , F

Proof of Theorem ffvresb
StepHypRef Expression
1 fdm 4993 . . . . . 6  F  |`  : -->  dom  F  |`
2 dmres 4575 . . . . . . 7  dom  F  |`  i^i  dom  F
3 inss2 3152 . . . . . . 7  i^i  dom  F  C_ 
dom  F
42, 3eqsstri 2969 . . . . . 6  dom  F  |`  C_  dom  F
51, 4syl6eqssr 2990 . . . . 5  F  |`  : -->  C_ 
dom  F
65sselda 2939 . . . 4  F  |`  : -->  dom  F
7 fvres 5141 . . . . . 6  F  |`  `
 F `
87adantl 262 . . . . 5  F  |`  : -->  F  |`  `  F `
9 ffvelrn 5243 . . . . 5  F  |`  : -->  F  |`  `
108, 9eqeltrrd 2112 . . . 4  F  |`  : -->  F `
116, 10jca 290 . . 3  F  |`  : -->  dom  F  F `
1211ralrimiva 2386 . 2  F  |`  : -->  dom  F  F `
13 simpl 102 . . . . . . 7  dom  F  F `  dom  F
1413ralimi 2378 . . . . . 6  dom  F  F `  dom  F
15 dfss3 2929 . . . . . 6 
C_  dom  F  dom  F
1614, 15sylibr 137 . . . . 5  dom  F  F `  C_  dom  F
17 funfn 4874 . . . . . 6  Fun 
F  F  Fn  dom  F
18 fnssres 4955 . . . . . 6  F  Fn  dom  F  C_  dom  F  F  |`  Fn
1917, 18sylanb 268 . . . . 5  Fun  F  C_ 
dom  F  F  |`  Fn
2016, 19sylan2 270 . . . 4  Fun  F  dom  F  F `  F  |`  Fn
21 simpr 103 . . . . . . . 8  dom  F  F `  F `
227eleq1d 2103 . . . . . . . 8  F  |`  `
 F `
2321, 22syl5ibr 145 . . . . . . 7  dom  F  F `  F  |`  `
2423ralimia 2376 . . . . . 6  dom  F  F `  F  |`  `
2524adantl 262 . . . . 5  Fun  F  dom  F  F `  F  |`  `
26 fnfvrnss 5268 . . . . 5  F  |`  Fn  F  |`  `
 ran  F  |` 
C_
2720, 25, 26syl2anc 391 . . . 4  Fun  F  dom  F  F `  ran  F  |`  C_
28 df-f 4849 . . . 4  F  |`  : -->  F  |`  Fn  ran  F  |`  C_
2920, 27, 28sylanbrc 394 . . 3  Fun  F  dom  F  F `  F  |`  : -->
3029ex 108 . 2  Fun 
F  dom  F  F `  F  |`  : -->
3112, 30impbid2 131 1  Fun 
F  F  |`  : --> 
dom  F  F `
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300    i^i cin 2910    C_ wss 2911   dom cdm 4288   ran crn 4289    |` cres 4290   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840   -->wf 4841   ` cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator