ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1stres Unicode version

Theorem f1stres 5786
Description: Mapping of a restriction of the  1st (first member of an ordered pair) function. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
f1stres  |-  ( 1st  |`  ( A  X.  B
) ) : ( A  X.  B ) --> A

Proof of Theorem f1stres
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2560 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
2 vex 2560 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
31, 2op1sta 4802 . . . . . . 7  |-  U. dom  {
<. y ,  z >. }  =  y
43eleq1i 2103 . . . . . 6  |-  ( U. dom  { <. y ,  z
>. }  e.  A  <->  y  e.  A )
54biimpri 124 . . . . 5  |-  ( y  e.  A  ->  U. dom  {
<. y ,  z >. }  e.  A )
65adantr 261 . . . 4  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  U. dom  { <. y ,  z >. }  e.  A )
76rgen2 2405 . . 3  |-  A. y  e.  A  A. z  e.  B  U. dom  { <. y ,  z >. }  e.  A
8 sneq 3386 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  { x }  =  { <. y ,  z
>. } )
98dmeqd 4537 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  dom  { x }  =  dom  { <. y ,  z >. } )
109unieqd 3591 . . . . 5  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  U. dom  { x }  =  U. dom  { <. y ,  z >. } )
1110eleq1d 2106 . . . 4  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( U. dom  { x }  e.  A  <->  U.
dom  { <. y ,  z
>. }  e.  A ) )
1211ralxp 4479 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( A  X.  B ) U. dom  { x }  e.  A  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  U. dom  { <. y ,  z
>. }  e.  A )
137, 12mpbir 134 . 2  |-  A. x  e.  ( A  X.  B
) U. dom  {
x }  e.  A
14 df-1st 5767 . . . . 5  |-  1st  =  ( x  e.  _V  |->  U.
dom  { x } )
1514reseq1i 4608 . . . 4  |-  ( 1st  |`  ( A  X.  B
) )  =  ( ( x  e.  _V  |->  U.
dom  { x } )  |`  ( A  X.  B
) )
16 ssv 2965 . . . . 5  |-  ( A  X.  B )  C_  _V
17 resmpt 4656 . . . . 5  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  _V  ->  ( ( x  e.  _V  |->  U.
dom  { x } )  |`  ( A  X.  B
) )  =  ( x  e.  ( A  X.  B )  |->  U.
dom  { x } ) )
1816, 17ax-mp 7 . . . 4  |-  ( ( x  e.  _V  |->  U.
dom  { x } )  |`  ( A  X.  B
) )  =  ( x  e.  ( A  X.  B )  |->  U.
dom  { x } )
1915, 18eqtri 2060 . . 3  |-  ( 1st  |`  ( A  X.  B
) )  =  ( x  e.  ( A  X.  B )  |->  U.
dom  { x } )
2019fmpt 5319 . 2  |-  ( A. x  e.  ( A  X.  B ) U. dom  { x }  e.  A  <->  ( 1st  |`  ( A  X.  B ) ) : ( A  X.  B
) --> A )
2113, 20mpbi 133 1  |-  ( 1st  |`  ( A  X.  B
) ) : ( A  X.  B ) --> A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1243    e. wcel 1393   A.wral 2306   _Vcvv 2557    C_ wss 2917   {csn 3375   <.cop 3378   U.cuni 3580    |-> cmpt 3818    X. cxp 4343   dom cdm 4345    |` cres 4347   -->wf 4898   1stc1st 5765
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-fv 4910  df-1st 5767
This theorem is referenced by:  fo1stresm  5788  1stcof  5790
  Copyright terms: Public domain W3C validator