Theorem f1ssres 5099

Description: A function that is one-to-one is also one-to-one on some aubset of its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1ssres	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-> B )

Proof of Theorem f1ssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 5092	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> F : A --> B )
2		fssres 5066	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C --> B )
3	1, 2	sylan 267	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C --> B )
4		df-f1 4907	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ Fun `' F ) )
5	4	simprbi 260	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> Fun `' F )
6		funres11 4971	. . . 4 |- ( Fun `' F -> Fun `' ( F |` C ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> Fun `' ( F |` C ) )
8	7	adantr 261	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> Fun `' ( F |` C ) )
9		df-f1 4907	. 2 |- ( ( F |` C ) : C -1-1-> B <-> ( ( F |` C ) : C --> B /\ Fun `' ( F |` C ) ) )
10	3, 8, 9	sylanbrc 394	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   C_ wss 2917   `'ccnv 4344   |` cres 4347   Fun wfun 4896   -->wf 4898   -1-1->wf1 4899

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907

This theorem is referenced by:  f1ores  5141