ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1oprg Structured version   Unicode version

Theorem f1oprg 5111
Description: An unordered pair of ordered pairs with different elements is a one-to-one onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
f1oprg  V  W  C  X  D  Y  =/=  C  =/=  D  { <. ,  >. ,  <. C ,  D >. } : { ,  C } -1-1-onto-> { ,  D }

Proof of Theorem f1oprg
StepHypRef Expression
1 f1osng 5110 . . . . 5  V  W  { <. ,  >. } : { }
-1-1-onto-> { }
21ad2antrr 457 . . . 4  V  W  C  X  D  Y  =/=  C  =/=  D  { <. ,  >. } : { } -1-1-onto-> { }
3 f1osng 5110 . . . . 5  C  X  D  Y  { <. C ,  D >. } : { C }
-1-1-onto-> { D }
43ad2antlr 458 . . . 4  V  W  C  X  D  Y  =/=  C  =/=  D  { <. C ,  D >. } : { C } -1-1-onto-> { D }
5 disjsn2 3424 . . . . 5  =/=  C  { }  i^i  { C }  (/)
65ad2antrl 459 . . . 4  V  W  C  X  D  Y  =/=  C  =/=  D  { }  i^i  { C }  (/)
7 disjsn2 3424 . . . . 5  =/=  D  { }  i^i  { D }  (/)
87ad2antll 460 . . . 4  V  W  C  X  D  Y  =/=  C  =/=  D  { }  i^i  { D }  (/)
9 f1oun 5089 . . . 4  { <. ,  >. } : { } -1-1-onto-> { }  {
<. C ,  D >. } : { C } -1-1-onto-> { D }  { }  i^i  { C }  (/)  { }  i^i  { D }  (/)  { <. ,  >. }  u.  { <. C ,  D >. } : { }  u.  { C } -1-1-onto-> { }  u.  { D }
102, 4, 6, 8, 9syl22anc 1135 . . 3  V  W  C  X  D  Y  =/=  C  =/=  D  { <. ,  >. }  u.  { <. C ,  D >. } : { }  u.  { C } -1-1-onto-> { }  u.  { D }
11 df-pr 3374 . . . . . 6  { <. ,  >. ,  <. C ,  D >. }  { <. ,  >. }  u.  { <. C ,  D >. }
1211eqcomi 2041 . . . . 5  { <. ,  >. }  u.  { <. C ,  D >. }  { <. ,  >. ,  <. C ,  D >. }
1312a1i 9 . . . 4  V  W  C  X  D  Y  =/=  C  =/=  D  { <. ,  >. }  u.  { <. C ,  D >. }  { <. ,  >. ,  <. C ,  D >. }
14 df-pr 3374 . . . . . 6  { ,  C }  { }  u.  { C }
1514eqcomi 2041 . . . . 5  { }  u.  { C }  { ,  C }
1615a1i 9 . . . 4  V  W  C  X  D  Y  =/=  C  =/=  D  { }  u.  { C }  { ,  C }
17 df-pr 3374 . . . . . 6  { ,  D }  { }  u.  { D }
1817eqcomi 2041 . . . . 5  { }  u.  { D }  { ,  D }
1918a1i 9 . . . 4  V  W  C  X  D  Y  =/=  C  =/=  D  { }  u.  { D }  { ,  D }
2013, 16, 19f1oeq123d 5066 . . 3  V  W  C  X  D  Y  =/=  C  =/=  D  { <. ,  >. }  u.  { <. C ,  D >. } : { }  u.  { C } -1-1-onto-> { }  u.  { D }  { <. ,  >. ,  <. C ,  D >. } : { ,  C } -1-1-onto-> { ,  D }
2110, 20mpbid 135 . 2  V  W  C  X  D  Y  =/=  C  =/=  D  { <. ,  >. ,  <. C ,  D >. } : { ,  C } -1-1-onto-> { ,  D }
2221ex 108 1  V  W  C  X  D  Y  =/=  C  =/=  D  { <. ,  >. ,  <. C ,  D >. } : { ,  C } -1-1-onto-> { ,  D }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390    =/= wne 2201    u. cun 2909    i^i cin 2910   (/)c0 3218   {csn 3367   {cpr 3368   <.cop 3370   -1-1-onto->wf1o 4844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator