Theorem f1co 5044

Description: Composition of one-to-one functions. Exercise 30 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 28-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1co	|- (( F :B -1-1-> C /\ G :A -1-1->B) -> ( F o. G) :A -1-1-> C)

Proof of Theorem f1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1 4850	. . 3 |- ( F :B -1-1-> C <-> ( F :B --> C /\ Fun `' F))
2		df-f1 4850	. . 3 |- ( G :A -1-1->B <-> ( G :A -->B /\ Fun `' G))
3		fco 4999	. . . . 5 |- (( F :B --> C /\ G :A -->B) -> ( F o. G) :A --> C)
4		funco 4883	. . . . . . 7 |- (( Fun `' G /\ Fun `' F) -> Fun ( `' G o. `' F))
5		cnvco 4463	. . . . . . . 8 |- `'( F o. G) = ( `' G o. `' F)
6	5	funeqi 4865	. . . . . . 7 |- ( Fun `'( F o. G) <-> Fun ( `' G o. `' F))
7	4, 6	sylibr 137	. . . . . 6 |- (( Fun `' G /\ Fun `' F) -> Fun `'( F o. G))
8	7	ancoms 255	. . . . 5 |- (( Fun `' F /\ Fun `' G) -> Fun `'( F o. G))
9	3, 8	anim12i 321	. . . 4 |- ((( F :B --> C /\ G :A -->B) /\ ( Fun `' F /\ Fun `' G)) -> (( F o. G) :A --> C /\ Fun `'( F o. G)))
10	9	an4s 522	. . 3 |- ((( F :B --> C /\ Fun `' F) /\ ( G :A -->B /\ Fun `' G)) -> (( F o. G) :A --> C /\ Fun `'( F o. G)))
11	1, 2, 10	syl2anb 275	. 2 |- (( F :B -1-1-> C /\ G :A -1-1->B) -> (( F o. G) :A --> C /\ Fun `'( F o. G)))
12		df-f1 4850	. 2 |- (( F o. G) :A -1-1-> C <-> (( F o. G) :A --> C /\ Fun `'( F o. G)))
13	11, 12	sylibr 137	1 |- (( F :B -1-1-> C /\ G :A -1-1->B) -> ( F o. G) :A -1-1-> C)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   `'ccnv 4287   o. ccom 4292   Fun wfun 4839   -->wf 4841   -1-1->wf1 4842

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850

This theorem is referenced by:  f1oco  5092  tposf12  5825  domtr  6201