Theorem exdistrfor 1681

Description: Distribution of existential quantifiers, with a bound-variable hypothesis saying that y is not free in ph, but x can be free in ph (and there is no distinct variable condition on x and y). (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
exdistrfor.1	|- ( A. x x = y \/ A. x F/ y ph )

Assertion

Ref	Expression
exdistrfor	|- ( E. x E. y ( ph /\ ps ) -> E. x ( ph /\ E. y ps ) )

Proof of Theorem exdistrfor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exdistrfor.1	. 2 |- ( A. x x = y \/ A. x F/ y ph )
2		biidd 161	. . . . . 6 |- ( A. x x = y -> ( ( ph /\ ps ) <-> ( ph /\ ps ) ) )
3	2	drex1 1679	. . . . 5 |- ( A. x x = y -> ( E. x ( ph /\ ps ) <-> E. y ( ph /\ ps ) ) )
4	3	drex2 1620	. . . 4 |- ( A. x x = y -> ( E. x E. x ( ph /\ ps ) <-> E. x E. y ( ph /\ ps ) ) )
5		hbe1 1384	. . . . . 6 |- ( E. x ( ph /\ ps ) -> A. x E. x ( ph /\ ps ) )
6	5	19.9h 1534	. . . . 5 |- ( E. x E. x ( ph /\ ps ) <-> E. x ( ph /\ ps ) )
7		19.8a 1482	. . . . . . 7 |- ( ps -> E. y ps )
8	7	anim2i 324	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ph /\ E. y ps ) )
9	8	eximi 1491	. . . . 5 |- ( E. x ( ph /\ ps ) -> E. x ( ph /\ E. y ps ) )
10	6, 9	sylbi 114	. . . 4 |- ( E. x E. x ( ph /\ ps ) -> E. x ( ph /\ E. y ps ) )
11	4, 10	syl6bir 153	. . 3 |- ( A. x x = y -> ( E. x E. y ( ph /\ ps ) -> E. x ( ph /\ E. y ps ) ) )
12		ax-ial 1427	. . . 4 |- ( A. x F/ y ph -> A. x A. x F/ y ph )
13		19.40 1522	. . . . . 6 |- ( E. y ( ph /\ ps ) -> ( E. y ph /\ E. y ps ) )
14		19.9t 1533	. . . . . . . 8 |- ( F/ y ph -> ( E. y ph <-> ph ) )
15	14	biimpd 132	. . . . . . 7 |- ( F/ y ph -> ( E. y ph -> ph ) )
16	15	anim1d 319	. . . . . 6 |- ( F/ y ph -> ( ( E. y ph /\ E. y ps ) -> ( ph /\ E. y ps ) ) )
17	13, 16	syl5 28	. . . . 5 |- ( F/ y ph -> ( E. y ( ph /\ ps ) -> ( ph /\ E. y ps ) ) )
18	17	sps 1430	. . . 4 |- ( A. x F/ y ph -> ( E. y ( ph /\ ps ) -> ( ph /\ E. y ps ) ) )
19	12, 18	eximdh 1502	. . 3 |- ( A. x F/ y ph -> ( E. x E. y ( ph /\ ps ) -> E. x ( ph /\ E. y ps ) ) )
20	11, 19	jaoi 636	. 2 |- ( ( A. x x = y \/ A. x F/ y ph ) -> ( E. x E. y ( ph /\ ps ) -> E. x ( ph /\ E. y ps ) ) )
21	1, 20	ax-mp 7	1 |- ( E. x E. y ( ph /\ ps ) -> E. x ( ph /\ E. y ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   \/ wo 629   A.wal 1241   F/wnf 1349   E.wex 1381

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1350

This theorem is referenced by:  oprabidlem  5536