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Theorem eusv2nf 4188
Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression  A ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
eusv2.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
eusv2nf  |-  ( E! y E. x  y  =  A  <->  F/_ x A )
Distinct variable groups:    x, y    y, A
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem eusv2nf
StepHypRef Expression
1 nfeu1 1911 . . . 4  |-  F/ y E! y E. x  y  =  A
2 nfe1 1385 . . . . . . 7  |-  F/ x E. x  y  =  A
32nfeu 1919 . . . . . 6  |-  F/ x E! y E. x  y  =  A
4 eusv2.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
_V
54isseti 2563 . . . . . . . 8  |-  E. y 
y  =  A
6 19.8a 1482 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  E. x  y  =  A )
76ancri 307 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  y  =  A  /\  y  =  A ) )
85, 7eximii 1493 . . . . . . 7  |-  E. y
( E. x  y  =  A  /\  y  =  A )
9 eupick 1979 . . . . . . 7  |-  ( ( E! y E. x  y  =  A  /\  E. y ( E. x  y  =  A  /\  y  =  A )
)  ->  ( E. x  y  =  A  ->  y  =  A ) )
108, 9mpan2 401 . . . . . 6  |-  ( E! y E. x  y  =  A  ->  ( E. x  y  =  A  ->  y  =  A ) )
113, 10alrimi 1415 . . . . 5  |-  ( E! y E. x  y  =  A  ->  A. x
( E. x  y  =  A  ->  y  =  A ) )
12 nf3 1559 . . . . 5  |-  ( F/ x  y  =  A  <->  A. x ( E. x  y  =  A  ->  y  =  A ) )
1311, 12sylibr 137 . . . 4  |-  ( E! y E. x  y  =  A  ->  F/ x  y  =  A
)
141, 13alrimi 1415 . . 3  |-  ( E! y E. x  y  =  A  ->  A. y F/ x  y  =  A )
15 dfnfc2 3598 . . . 4  |-  ( A. x  A  e.  _V  ->  ( F/_ x A  <->  A. y F/ x  y  =  A ) )
1615, 4mpg 1340 . . 3  |-  ( F/_ x A  <->  A. y F/ x  y  =  A )
1714, 16sylibr 137 . 2  |-  ( E! y E. x  y  =  A  ->  F/_ x A )
18 eusvnfb 4186 . . . 4  |-  ( E! y A. x  y  =  A  <->  ( F/_ x A  /\  A  e. 
_V ) )
194, 18mpbiran2 848 . . 3  |-  ( E! y A. x  y  =  A  <->  F/_ x A )
20 eusv2i 4187 . . 3  |-  ( E! y A. x  y  =  A  ->  E! y E. x  y  =  A )
2119, 20sylbir 125 . 2  |-  ( F/_ x A  ->  E! y E. x  y  =  A )
2217, 21impbii 117 1  |-  ( E! y E. x  y  =  A  <->  F/_ x A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98   A.wal 1241    = wceq 1243   F/wnf 1349   E.wex 1381    e. wcel 1393   E!weu 1900   F/_wnfc 2165   _Vcvv 2557
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581
This theorem is referenced by:  eusv2  4189
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