Theorem euen1 6282

Description: Two ways to express "exactly one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
euen1	|- ( E! x ph <-> { x | ph } ~~ 1o )

Proof of Theorem euen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reuen1 6281	. 2 |- ( E! x e. _V ph <-> { x e. _V | ph } ~~ 1o )
2		reuv 2573	. 2 |- ( E! x e. _V ph <-> E! x ph )
3		rabab 2575	. . 3 |- { x e. _V | ph } = { x | ph }
4	3	breq1i 3771	. 2 |- ( { x e. _V | ph } ~~ 1o <-> { x | ph } ~~ 1o )
5	1, 2, 4	3bitr3i 199	1 |- ( E! x ph <-> { x | ph } ~~ 1o )

Syntax hints:   <-> wb 98   E!weu 1900   {cab 2026   E!wreu 2308   {crab 2310   _Vcvv 2557   class class class wbr 3764   1oc1o 5994   ~~ cen 6219

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-1o 6001  df-en 6222

This theorem is referenced by:  euen1b  6283