Theorem euabex 3961

Description: The abstraction of a wff with existential uniqueness exists. (Contributed by NM, 25-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
euabex	|- ( E! x ph -> { x | ph } e. _V )

Proof of Theorem euabex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euabsn2 3439	. 2 |- ( E! x ph <-> E. y { x | ph } = { y } )
2		vex 2560	. . . . 5 |- y e. _V
3		snexgOLD 3935	. . . . 5 |- ( y e. _V -> { y } e. _V )
4	2, 3	ax-mp 7	. . . 4 |- { y } e. _V
5		eleq1 2100	. . . 4 |- ( { x | ph } = { y } -> ( { x | ph } e. _V <-> { y } e. _V ) )
6	4, 5	mpbiri 157	. . 3 |- ( { x | ph } = { y } -> { x | ph } e. _V )
7	6	exlimiv 1489	. 2 |- ( E. y { x | ph } = { y } -> { x | ph } e. _V )
8	1, 7	sylbi 114	1 |- ( E! x ph -> { x | ph } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   E!weu 1900   {cab 2026   _Vcvv 2557   {csn 3375

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381

This theorem is referenced by: (None)