ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ereq1 Structured version   Unicode version

Theorem ereq1 6049
Description: Equality theorem for equivalence predicate. (Contributed by NM, 4-Jun-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ereq1  R  S  R  Er  S  Er

Proof of Theorem ereq1
StepHypRef Expression
1 releq 4365 . . 3  R  S  Rel  R  Rel  S
2 dmeq 4478 . . . 4  R  S  dom  R  dom  S
32eqeq1d 2045 . . 3  R  S  dom  R  dom  S
4 cnveq 4452 . . . . . 6  R  S  `' R  `' S
5 coeq1 4436 . . . . . . 7  R  S  R  o.  R  S  o.  R
6 coeq2 4437 . . . . . . 7  R  S  S  o.  R  S  o.  S
75, 6eqtrd 2069 . . . . . 6  R  S  R  o.  R  S  o.  S
84, 7uneq12d 3092 . . . . 5  R  S  `' R  u.  R  o.  R  `' S  u.  S  o.  S
98sseq1d 2966 . . . 4  R  S  `' R  u.  R  o.  R  C_  R  `' S  u.  S  o.  S 
C_  R
10 sseq2 2961 . . . 4  R  S  `' S  u.  S  o.  S  C_  R  `' S  u.  S  o.  S 
C_  S
119, 10bitrd 177 . . 3  R  S  `' R  u.  R  o.  R  C_  R  `' S  u.  S  o.  S 
C_  S
121, 3, 113anbi123d 1206 . 2  R  S  Rel  R  dom  R  `' R  u.  R  o.  R  C_  R  Rel 
S  dom  S  `' S  u.  S  o.  S 
C_  S
13 df-er 6042 . 2  R  Er  Rel 
R  dom  R  `' R  u.  R  o.  R 
C_  R
14 df-er 6042 . 2  S  Er  Rel 
S  dom  S  `' S  u.  S  o.  S 
C_  S
1512, 13, 143bitr4g 212 1  R  S  R  Er  S  Er
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wb 98   w3a 884   wceq 1242    u. cun 2909    C_ wss 2911   `'ccnv 4287   dom cdm 4288    o. ccom 4292   Rel wrel 4293    Er wer 6039
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-er 6042
This theorem is referenced by:  riinerm  6115
  Copyright terms: Public domain W3C validator