ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ener Unicode version

Theorem ener 6259
Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ener  |-  ~~  Er  _V

Proof of Theorem ener
Dummy variables  f  g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 6225 . . . 4  |-  Rel  ~~
21a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  Rel  ~~  )
3 bren 6228 . . . . 5  |-  ( x 
~~  y  <->  E. f 
f : x -1-1-onto-> y )
4 f1ocnv 5139 . . . . . . 7  |-  ( f : x -1-1-onto-> y  ->  `' f : y -1-1-onto-> x )
5 vex 2560 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
6 vex 2560 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
7 f1oen2g 6235 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V  /\  x  e.  _V  /\  `' f : y -1-1-onto-> x )  ->  y  ~~  x )
85, 6, 7mp3an12 1222 . . . . . . 7  |-  ( `' f : y -1-1-onto-> x  -> 
y  ~~  x )
94, 8syl 14 . . . . . 6  |-  ( f : x -1-1-onto-> y  ->  y  ~~  x )
109exlimiv 1489 . . . . 5  |-  ( E. f  f : x -1-1-onto-> y  ->  y  ~~  x
)
113, 10sylbi 114 . . . 4  |-  ( x 
~~  y  ->  y  ~~  x )
1211adantl 262 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  ~~  y )  ->  y  ~~  x )
13 bren 6228 . . . . 5  |-  ( x 
~~  y  <->  E. g 
g : x -1-1-onto-> y )
14 bren 6228 . . . . 5  |-  ( y 
~~  z  <->  E. f 
f : y -1-1-onto-> z )
15 eeanv 1807 . . . . . 6  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-onto-> y  /\  f : y -1-1-onto-> z )  <->  ( E. g  g : x -1-1-onto-> y  /\  E. f  f : y -1-1-onto-> z ) )
16 f1oco 5149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : y -1-1-onto-> z  /\  g : x -1-1-onto-> y )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-onto-> z )
1716ancoms 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : x -1-1-onto-> y  /\  f : y -1-1-onto-> z )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-onto-> z )
18 vex 2560 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
19 f1oen2g 6235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  z  e.  _V  /\  (
f  o.  g ) : x -1-1-onto-> z )  ->  x  ~~  z )
206, 18, 19mp3an12 1222 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  o.  g ) : x -1-1-onto-> z  ->  x  ~~  z )
2117, 20syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( g : x -1-1-onto-> y  /\  f : y -1-1-onto-> z )  ->  x  ~~  z )
2221exlimivv 1776 . . . . . 6  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-onto-> y  /\  f : y -1-1-onto-> z )  ->  x  ~~  z )
2315, 22sylbir 125 . . . . 5  |-  ( ( E. g  g : x -1-1-onto-> y  /\  E. f 
f : y -1-1-onto-> z )  ->  x  ~~  z
)
2413, 14, 23syl2anb 275 . . . 4  |-  ( ( x  ~~  y  /\  y  ~~  z )  ->  x  ~~  z )
2524adantl 262 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x 
~~  y  /\  y  ~~  z ) )  ->  x  ~~  z )
266enref 6245 . . . . 5  |-  x  ~~  x
276, 262th 163 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  <->  x  ~~  x )
2827a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  _V  <->  x 
~~  x ) )
292, 12, 25, 28iserd 6132 . 2  |-  ( T. 
->  ~~  Er  _V )
3029trud 1252 1  |-  ~~  Er  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 97    <-> wb 98   T. wtru 1244   E.wex 1381    e. wcel 1393   _Vcvv 2557   class class class wbr 3764   `'ccnv 4344    o. ccom 4349   Rel wrel 4350   -1-1-onto->wf1o 4901    Er wer 6103    ~~ cen 6219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-er 6106  df-en 6222
This theorem is referenced by:  ensymb  6260  entr  6264
  Copyright terms: Public domain W3C validator