ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ener Structured version   Unicode version

Theorem ener 6195
Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ener  ~~  Er  _V

Proof of Theorem ener
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 6161 . . . 4  Rel  ~~
21a1i 9 . . 3  Rel  ~~
3 bren 6164 . . . . 5 
~~  : -1-1-onto->
4 f1ocnv 5082 . . . . . . 7  : -1-1-onto->  `' : -1-1-onto->
5 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
6 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
7 f1oen2g 6171 . . . . . . . 8  _V  _V  `' : -1-1-onto->  ~~
85, 6, 7mp3an12 1221 . . . . . . 7  `' : -1-1-onto->  ~~
94, 8syl 14 . . . . . 6  : -1-1-onto->  ~~
109exlimiv 1486 . . . . 5  : -1-1-onto->  ~~
113, 10sylbi 114 . . . 4 
~~  ~~
1211adantl 262 . . 3  ~~  ~~
13 bren 6164 . . . . 5 
~~  : -1-1-onto->
14 bren 6164 . . . . 5 
~~  : -1-1-onto->
15 eeanv 1804 . . . . . 6  : -1-1-onto->  : -1-1-onto->  : -1-1-onto->  : -1-1-onto->
16 f1oco 5092 . . . . . . . . 9  : -1-1-onto->  : -1-1-onto->  o.  : -1-1-onto->
1716ancoms 255 . . . . . . . 8  : -1-1-onto->  : -1-1-onto->  o.  : -1-1-onto->
18 vex 2554 . . . . . . . . 9 
_V
19 f1oen2g 6171 . . . . . . . . 9  _V  _V  o.  : -1-1-onto->  ~~
206, 18, 19mp3an12 1221 . . . . . . . 8  o.  : -1-1-onto->  ~~
2117, 20syl 14 . . . . . . 7  : -1-1-onto->  : -1-1-onto->  ~~
2221exlimivv 1773 . . . . . 6  : -1-1-onto->  : -1-1-onto->  ~~
2315, 22sylbir 125 . . . . 5  :
-1-1-onto->  : -1-1-onto->  ~~
2413, 14, 23syl2anb 275 . . . 4  ~~  ~~  ~~
2524adantl 262 . . 3 
~~  ~~  ~~
266enref 6181 . . . . 5  ~~
276, 262th 163 . . . 4  _V  ~~
2827a1i 9 . . 3  _V  ~~
292, 12, 25, 28iserd 6068 . 2  ~~  Er  _V
3029trud 1251 1  ~~  Er  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   wtru 1243  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551   class class class wbr 3755   `'ccnv 4287    o. ccom 4292   Rel wrel 4293   -1-1-onto->wf1o 4844    Er wer 6039    ~~ cen 6155
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-er 6042  df-en 6158
This theorem is referenced by:  ensymb  6196  entr  6200
  Copyright terms: Public domain W3C validator