ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en1uniel Unicode version

Theorem en1uniel 6284
Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en1uniel  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  S )

Proof of Theorem en1uniel
StepHypRef Expression
1 relen 6225 . . . 4  |-  Rel  ~~
21brrelexi 4384 . . 3  |-  ( S 
~~  1o  ->  S  e. 
_V )
3 uniexg 4175 . . 3  |-  ( S  e.  _V  ->  U. S  e.  _V )
4 snidg 3400 . . 3  |-  ( U. S  e.  _V  ->  U. S  e.  { U. S } )
52, 3, 43syl 17 . 2  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  { U. S }
)
6 encv 6227 . . . . 5  |-  ( S 
~~  1o  ->  ( S  e.  _V  /\  1o  e.  _V ) )
76simpld 105 . . . 4  |-  ( S 
~~  1o  ->  S  e. 
_V )
8 en1bg 6280 . . . 4  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  ~~  1o  <->  S  =  { U. S } ) )
97, 8syl 14 . . 3  |-  ( S 
~~  1o  ->  ( S 
~~  1o  <->  S  =  { U. S } ) )
109ibi 165 . 2  |-  ( S 
~~  1o  ->  S  =  { U. S }
)
115, 10eleqtrrd 2117 1  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 98    = wceq 1243    e. wcel 1393   _Vcvv 2557   {csn 3375   U.cuni 3580   class class class wbr 3764   1oc1o 5994    ~~ cen 6219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-1o 6001  df-en 6222
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator