Theorem elvvuni 4404

Description: An ordered pair contains its union. (Contributed by NM, 16-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elvvuni	|- ( A e. ( _V X. _V ) -> U. A e. A )

Proof of Theorem elvvuni

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elvv 4402	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		vex 2560	. . . . . 6 |- x e. _V
3		vex 2560	. . . . . 6 |- y e. _V
4	2, 3	uniop 3992	. . . . 5 |- U. <. x , y >. = { x , y }
5	2, 3	opi2 3970	. . . . 5 |- { x , y } e. <. x , y >.
6	4, 5	eqeltri 2110	. . . 4 |- U. <. x , y >. e. <. x , y >.
7		unieq 3589	. . . . 5 |- ( A = <. x , y >. -> U. A = U. <. x , y >. )
8		id 19	. . . . 5 |- ( A = <. x , y >. -> A = <. x , y >. )
9	7, 8	eleq12d 2108	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> ( U. A e. A <-> U. <. x , y >. e. <. x , y >. ) )
10	6, 9	mpbiri 157	. . 3 |- ( A = <. x , y >. -> U. A e. A )
11	10	exlimivv 1776	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. -> U. A e. A )
12	1, 11	sylbi 114	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) -> U. A e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   {cpr 3376   <.cop 3378   U.cuni 3580   X. cxp 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-opab 3819  df-xp 4351

This theorem is referenced by:  unielxp  5800