ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elsnres Unicode version

Theorem elsnres 4634
Description: Memebership in restriction to a singleton. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
elsnres.1  |-  C  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
elsnres  |-  ( A  e.  ( B  |`  { C } )  <->  E. y
( A  =  <. C ,  y >.  /\  <. C ,  y >.  e.  B
) )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    y, C

Proof of Theorem elsnres
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elres 4633 . 2  |-  ( A  e.  ( B  |`  { C } )  <->  E. x  e.  { C } E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) )
2 rexcom4 2574 . 2  |-  ( E. x  e.  { C } E. y ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  E. y E. x  e.  { C }  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) )
3 elsnres.1 . . . 4  |-  C  e. 
_V
4 opeq1 3546 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  <. x ,  y >.  =  <. C ,  y >. )
54eqeq2d 2051 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  <->  A  =  <. C ,  y >. )
)
64eleq1d 2106 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( <. x ,  y >.  e.  B  <->  <. C ,  y
>.  e.  B ) )
75, 6anbi12d 442 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
)  <->  ( A  = 
<. C ,  y >.  /\  <. C ,  y
>.  e.  B ) ) )
83, 7rexsn 3412 . . 3  |-  ( E. x  e.  { C }  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  ( A  =  <. C ,  y
>.  /\  <. C ,  y
>.  e.  B ) )
98exbii 1496 . 2  |-  ( E. y E. x  e. 
{ C }  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
)  <->  E. y ( A  =  <. C ,  y
>.  /\  <. C ,  y
>.  e.  B ) )
101, 2, 93bitri 195 1  |-  ( A  e.  ( B  |`  { C } )  <->  E. y
( A  =  <. C ,  y >.  /\  <. C ,  y >.  e.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 97    <-> wb 98    = wceq 1243   E.wex 1381    e. wcel 1393   E.wrex 2304   _Vcvv 2554   {csn 3372   <.cop 3375    |` cres 4334
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3872  ax-pow 3924  ax-pr 3941
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2308  df-rex 2309  df-v 2556  df-sbc 2762  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-opab 3816  df-xp 4338  df-rel 4339  df-res 4344
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator