ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elres Unicode version

Theorem elres 4589
Description: Membership in a restriction. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
elres  |`  C  C  <. ,  >. 
<. ,  >.
Distinct variable groups:   ,,   ,,   , C,

Proof of Theorem elres
StepHypRef Expression
1 relres 4582 . . . . 5  Rel  |`  C
2 elrel 4385 . . . . 5  Rel  |`  C  |`  C  <. , 
>.
31, 2mpan 400 . . . 4  |`  C  <. ,  >.
4 eleq1 2097 . . . . . . . . 9  <. , 
>.  |`  C 
<. ,  >.  |`  C
54biimpd 132 . . . . . . . 8  <. , 
>.  |`  C  <. , 
>.  |`  C
6 vex 2554 . . . . . . . . . . 11 
_V
76opelres 4560 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  |`  C  <. , 
>.  C
87biimpi 113 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  |`  C  <. , 
>.  C
98ancomd 254 . . . . . . . 8  <. ,  >.  |`  C  C  <. , 
>.
105, 9syl6com 31 . . . . . . 7  |`  C  <. ,  >.  C  <. ,  >.
1110ancld 308 . . . . . 6  |`  C  <. ,  >.  <. ,  >.  C  <. ,  >.
12 an12 495 . . . . . 6  <. ,  >.  C  <. ,  >.  C  <. ,  >.  <. ,  >.
1311, 12syl6ib 150 . . . . 5  |`  C  <. ,  >.  C  <. ,  >.  <. ,  >.
14132eximdv 1759 . . . 4  |`  C  <. ,  >.  C  <. ,  >.  <. ,  >.
153, 14mpd 13 . . 3  |`  C  C  <. ,  >.  <. ,  >.
16 rexcom4 2571 . . . 4  C  <. ,  >.  <. ,  >.  C  <. , 
>.  <. , 
>.
17 df-rex 2306 . . . . 5  C  <. ,  >.  <. ,  >.  C  <. ,  >.  <. ,  >.
1817exbii 1493 . . . 4  C  <. ,  >.  <. ,  >.  C  <. ,  >.  <. ,  >.
19 excom 1551 . . . 4  C  <. ,  >.  <. ,  >.  C  <. ,  >.  <. ,  >.
2016, 18, 193bitri 195 . . 3  C  <. ,  >.  <. ,  >.  C  <. ,  >.  <. ,  >.
2115, 20sylibr 137 . 2  |`  C  C  <. ,  >. 
<. ,  >.
227simplbi2com 1330 . . . . . 6  C  <. ,  >.  <. ,  >.  |`  C
234biimprd 147 . . . . . 6  <. , 
>.  <. ,  >.  |`  C  |`  C
2422, 23syl9 66 . . . . 5  C  <. ,  >.  <. ,  >.  |`  C
2524impd 242 . . . 4  C  <. ,  >.  <. ,  >.  |`  C
2625exlimdv 1697 . . 3  C  <. ,  >. 
<. ,  >.  |`  C
2726rexlimiv 2421 . 2  C  <. ,  >.  <. ,  >.  |`  C
2821, 27impbii 117 1  |`  C  C  <. ,  >. 
<. ,  >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wrex 2301   <.cop 3370    |` cres 4290   Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-res 4300
This theorem is referenced by:  elsnres  4590
  Copyright terms: Public domain W3C validator