Theorem elres 4589

Description: Membership in a restriction. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elres	|- (A e. (B |` C) <-> E.x e. C E.y(A = <.x , y >. /\ <.x , y >. e. B))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x, C,y

Proof of Theorem elres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 4582	. . . . 5 |- Rel (B |` C)
2		elrel 4385	. . . . 5 |- (( Rel (B |` C) /\ A e. (B |` C)) -> E.xE.y A = <.x , y >.)
3	1, 2	mpan 400	. . . 4 |- (A e. (B |` C) -> E.xE.y A = <.x , y >.)
4		eleq1 2097	. . . . . . . . 9 |- (A = <.x , y >. -> (A e. (B |` C) <-> <.x , y >. e. (B |` C)))
5	4	biimpd 132	. . . . . . . 8 |- (A = <.x , y >. -> (A e. (B |` C) -> <.x , y >. e. (B |` C)))
6		vex 2554	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
7	6	opelres 4560	. . . . . . . . . 10 |- ( <.x , y >. e. (B |` C) <-> ( <.x , y >. e. B /\ x e. C))
8	7	biimpi 113	. . . . . . . . 9 |- ( <.x , y >. e. (B |` C) -> ( <.x , y >. e. B /\ x e. C))
9	8	ancomd 254	. . . . . . . 8 |- ( <.x , y >. e. (B |` C) -> (x e. C /\ <.x , y >. e. B))
10	5, 9	syl6com 31	. . . . . . 7 |- (A e. (B |` C) -> (A = <.x , y >. -> (x e. C /\ <.x , y >. e. B)))
11	10	ancld 308	. . . . . 6 |- (A e. (B |` C) -> (A = <.x , y >. -> (A = <.x , y >. /\ (x e. C /\ <.x , y >. e. B))))
12		an12 495	. . . . . 6 |- ((A = <.x , y >. /\ (x e. C /\ <.x , y >. e. B)) <-> (x e. C /\ (A = <.x , y >. /\ <.x , y >. e. B)))
13	11, 12	syl6ib 150	. . . . 5 |- (A e. (B |` C) -> (A = <.x , y >. -> (x e. C /\ (A = <.x , y >. /\ <.x , y >. e. B))))
14	13	2eximdv 1759	. . . 4 |- (A e. (B |` C) -> (E.xE.y A = <.x , y >. -> E.xE.y(x e. C /\ (A = <.x , y >. /\ <.x , y >. e. B))))
15	3, 14	mpd 13	. . 3 |- (A e. (B |` C) -> E.xE.y(x e. C /\ (A = <.x , y >. /\ <.x , y >. e. B)))
16		rexcom4 2571	. . . 4 |- (E.x e. C E.y(A = <.x , y >. /\ <.x , y >. e. B) <-> E.yE.x e. C (A = <.x , y >. /\ <.x , y >. e. B))
17		df-rex 2306	. . . . 5 |- (E.x e. C (A = <.x , y >. /\ <.x , y >. e. B) <-> E.x(x e. C /\ (A = <.x , y >. /\ <.x , y >. e. B)))
18	17	exbii 1493	. . . 4 |- (E.yE.x e. C (A = <.x , y >. /\ <.x , y >. e. B) <-> E.yE.x(x e. C /\ (A = <.x , y >. /\ <.x , y >. e. B)))
19		excom 1551	. . . 4 |- (E.yE.x(x e. C /\ (A = <.x , y >. /\ <.x , y >. e. B)) <-> E.xE.y(x e. C /\ (A = <.x , y >. /\ <.x , y >. e. B)))
20	16, 18, 19	3bitri 195	. . 3 |- (E.x e. C E.y(A = <.x , y >. /\ <.x , y >. e. B) <-> E.xE.y(x e. C /\ (A = <.x , y >. /\ <.x , y >. e. B)))
21	15, 20	sylibr 137	. 2 |- (A e. (B |` C) -> E.x e. C E.y(A = <.x , y >. /\ <.x , y >. e. B))
22	7	simplbi2com 1330	. . . . . 6 |- (x e. C -> ( <.x , y >. e. B -> <.x , y >. e. (B |` C)))
23	4	biimprd 147	. . . . . 6 |- (A = <.x , y >. -> ( <.x , y >. e. (B |` C) -> A e. (B |` C)))
24	22, 23	syl9 66	. . . . 5 |- (x e. C -> (A = <.x , y >. -> ( <.x , y >. e. B -> A e. (B |` C))))
25	24	impd 242	. . . 4 |- (x e. C -> ((A = <.x , y >. /\ <.x , y >. e. B) -> A e. (B |` C)))
26	25	exlimdv 1697	. . 3 |- (x e. C -> (E.y(A = <.x , y >. /\ <.x , y >. e. B) -> A e. (B |` C)))
27	26	rexlimiv 2421	. 2 |- (E.x e. C E.y(A = <.x , y >. /\ <.x , y >. e. B) -> A e. (B |` C))
28	21, 27	impbii 117	1 |- (A e. (B |` C) <-> E.x e. C E.y(A = <.x , y >. /\ <.x , y >. e. B))

Syntax hints:   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1242  E.wex 1378   e. wcel 1390  E.wrex 2301   <.cop 3370   |` cres 4290   Rel wrel 4293

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-res 4300

This theorem is referenced by:  elsnres  4590