Theorem elfzuzb 8654

Description: Membership in a finite set of sequential integers in terms of sets of upper integers. (Contributed by NM, 18-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuzb	|- ( K e. ( M ... N) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M) /\ N e. ( ZZ>= ` K)))

Proof of Theorem elfzuzb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 886	. . 3 |- ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N)) <-> ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ ( M <_ K /\ K <_ N)))
2		an6 1215	. . 3 |- ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N)) <-> (( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N)))
3		df-3an 886	. . . . 5 |- (( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) <-> (( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K e. ZZ))
4		anandir 525	. . . . 5 |- ((( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K e. ZZ) <-> (( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ)))
5		ancom 253	. . . . . 6 |- (( N e. ZZ /\ K e. ZZ) <-> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ))
6	5	anbi2i 430	. . . . 5 |- ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ)) <-> (( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ)))
7	3, 4, 6	3bitri 195	. . . 4 |- (( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) <-> (( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ)))
8	7	anbi1i 431	. . 3 |- ((( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N)) <-> ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ ( M <_ K /\ K <_ N)))
9	1, 2, 8	3bitr4ri 202	. 2 |- ((( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N)) <-> (( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N)))
10		elfz2 8651	. 2 |- ( K e. ( M ... N) <-> (( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N)))
11		eluz2 8255	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M) <-> ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K))
12		eluz2 8255	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` K) <-> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N))
13	11, 12	anbi12i 433	. 2 |- (( K e. ( ZZ>= ` M) /\ N e. ( ZZ>= ` K)) <-> (( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N)))
14	9, 10, 13	3bitr4i 201	1 |- ( K e. ( M ... N) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M) /\ N e. ( ZZ>= ` K)))

Syntax hints:   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 884   e. wcel 1390   class class class wbr 3755   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   <_ cle 6858   ZZcz 8021   ZZ>=cuz 8249   ...cfz 8644

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-neg 6982  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645

This theorem is referenced by:  eluzfz  8655  elfzuz  8656  elfzuz3  8657  elfzuz2  8663  peano2fzr  8671  fzsplit2  8684  fzass4  8695  fzss1  8696  fzss2  8697  fzp1elp1  8707  fznn  8721  elfz2nn0  8743  elfzofz  8788  fzosplitsnm1  8835  fzofzp1b  8854  fzosplitsn  8859  iseqfveq2  8905