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Theorem elfzomelpfzo 9087
Description: An integer increased by another integer is an element of a half-open integer range if and only if the integer is contained in the half-open integer range with bounds decreased by the other integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzomelpfzo  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ( ( M  -  L
)..^ ( N  -  L ) )  <->  ( K  +  L )  e.  ( M..^ N ) ) )

Proof of Theorem elfzomelpfzo
StepHypRef Expression
1 zsubcl 8286 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( M  -  L
)  e.  ZZ )
21ad2ant2rl 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( M  -  L
)  e.  ZZ )
3 simpl 102 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
43adantr 261 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
52, 42thd 164 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  -  L )  e.  ZZ  <->  M  e.  ZZ ) )
6 simpl 102 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
76adantl 262 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  ZZ )
8 zaddcl 8285 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( K  +  L
)  e.  ZZ )
98adantl 262 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( K  +  L
)  e.  ZZ )
107, 92thd 164 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ZZ  <->  ( K  +  L )  e.  ZZ ) )
11 zre 8249 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
1211adantr 261 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
1312adantr 261 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  RR )
14 zre 8249 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
1514adantl 262 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
1615adantl 262 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  L  e.  RR )
17 zre 8249 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
1817adantr 261 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
1918adantl 262 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  RR )
2013, 16, 19lesubaddd 7533 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  -  L )  <_  K  <->  M  <_  ( K  +  L ) ) )
215, 10, 203anbi123d 1207 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( M  -  L )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  ( M  -  L )  <_  K )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( K  +  L )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( K  +  L
) ) ) )
22 eluz2 8479 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  L )
)  <->  ( ( M  -  L )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  ( M  -  L )  <_  K ) )
23 eluz2 8479 . . . 4  |-  ( ( K  +  L )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( K  +  L )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( K  +  L
) ) )
2421, 22, 233bitr4g 212 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  L ) )  <->  ( K  +  L )  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
25 zsubcl 8286 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L
)  e.  ZZ )
2625ad2ant2l 477 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  ZZ )
27 simplr 482 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
2826, 272thd 164 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  -  L )  e.  ZZ  <->  N  e.  ZZ ) )
29 zre 8249 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
3029adantl 262 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
3130adantr 261 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  RR )
3219, 16, 31ltaddsubd 7536 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( ( K  +  L )  <  N  <->  K  <  ( N  -  L ) ) )
3332bicomd 129 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( K  <  ( N  -  L )  <->  ( K  +  L )  <  N ) )
3424, 28, 333anbi123d 1207 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( ( K  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  L ) )  /\  ( N  -  L
)  e.  ZZ  /\  K  <  ( N  -  L ) )  <->  ( ( K  +  L )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( K  +  L
)  <  N )
) )
35 elfzo2 9007 . 2  |-  ( K  e.  ( ( M  -  L )..^ ( N  -  L ) )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  L ) )  /\  ( N  -  L
)  e.  ZZ  /\  K  <  ( N  -  L ) ) )
36 elfzo2 9007 . 2  |-  ( ( K  +  L )  e.  ( M..^ N
)  <->  ( ( K  +  L )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( K  +  L
)  <  N )
)
3734, 35, 363bitr4g 212 1  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ( ( M  -  L
)..^ ( N  -  L ) )  <->  ( K  +  L )  e.  ( M..^ N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    /\ w3a 885    e. wcel 1393   class class class wbr 3764   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   RRcr 6888    + caddc 6892    < clt 7060    <_ cle 7061    - cmin 7182   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473  ..^cfzo 8999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875  df-fzo 9000
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