ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzom1elp1fzo Unicode version

Theorem elfzom1elp1fzo 9058
Description: Membership of an integer incremented by one in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
elfzom1elp1fzo  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem elfzom1elp1fzo
StepHypRef Expression
1 elfzofz 9018 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
2 elfzuz2 8893 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
3 elnn0uz 8510 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  <->  ( N  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
4 zcn 8250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
54anim1i 323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
)
6 elnnnn0 8225 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 ) )
75, 6sylibr 137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN )
87expcom 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  NN ) )
93, 8sylbir 125 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  NN ) )
101, 2, 93syl 17 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  NN ) )
1110impcom 116 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
12 1nn0 8197 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
1312a1i 9 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
14 nnnn0 8188 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
15 nnge1 7937 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
1613, 14, 153jca 1084 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  1  <_  N ) )
1711, 16syl 14 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( 1  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  1  <_  N ) )
18 elfz2nn0 8973 . . . 4  |-  ( 1  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 1  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  1  <_  N ) )
1917, 18sylibr 137 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
1  e.  ( 0 ... N ) )
20 fzossrbm1 9029 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0..^ ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ N ) )
2120adantr 261 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( 0..^ ( N  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ N ) )
22 fzossfz 9021 . . . . . 6  |-  ( 0..^ N )  C_  (
0 ... N )
2321, 22syl6ss 2957 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( 0..^ ( N  -  1 ) ) 
C_  ( 0 ... N ) )
24 simpr 103 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )
2523, 24jca 290 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( ( 0..^ ( N  -  1 ) )  C_  ( 0 ... N )  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) ) )
26 ssel2 2940 . . . 4  |-  ( ( ( 0..^ ( N  -  1 ) ) 
C_  ( 0 ... N )  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ( 0 ... N
) )
27 elfzubelfz 8900 . . . 4  |-  ( I  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
2825, 26, 273syl 17 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
2919, 28jca 290 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( 1  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... N ) ) )
30 elfzodifsumelfzo 9057 . 2  |-  ( ( 1  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  ( 0..^ N ) ) )
3129, 24, 30sylc 56 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    /\ w3a 885    e. wcel 1393    C_ wss 2917   class class class wbr 3764   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   CCcc 6887   0cc0 6889   1c1 6890    + caddc 6892    <_ cle 7061    - cmin 7182   NNcn 7914   NN0cn0 8181   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473   ...cfz 8874  ..^cfzo 8999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875  df-fzo 9000
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator