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Theorem elfzmlbp 8990
Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzmlbp  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ( M ... ( M  +  N
) ) )  -> 
( K  -  M
)  e.  ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem elfzmlbp
StepHypRef Expression
1 elfz2 8881 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M ... ( M  +  N
) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) ) ) )
2 znn0sub 8309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  K  <->  ( K  -  M )  e.  NN0 ) )
32adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  K 
<->  ( K  -  M
)  e.  NN0 )
)
43biimpcd 148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  <_  K  ->  (
( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M )  e.  NN0 ) )
54adantr 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N ) )  -> 
( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M )  e.  NN0 ) )
65impcom 116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( K  -  M
)  e.  NN0 )
7 zre 8249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
87adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
98adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
10 zre 8249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
1110adantl 262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
1211adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
13 zaddcl 8285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
1413adantlr 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
1514zred 8360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
16 letr 7101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  ( M  +  N )  e.  RR )  ->  (
( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N ) )  ->  M  <_  ( M  +  N )
) )
179, 12, 15, 16syl3anc 1135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) )  ->  M  <_  ( M  +  N
) ) )
18 zre 8249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
19 addge01 7467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  M  <_  ( M  +  N ) ) )
208, 18, 19syl2an 273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  N 
<->  M  <_  ( M  +  N ) ) )
21 elnn0z 8258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
2221simplbi2 367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  N  ->  N  e.  NN0 ) )
2322adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  N  ->  N  e.  NN0 ) )
2420, 23sylbird 159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_ 
( M  +  N
)  ->  N  e.  NN0 ) )
2517, 24syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) )  ->  N  e.  NN0 ) )
2625imp 115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
27 df-3an 887 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ ) )
28 3ancoma 892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
2927, 28bitr3i 175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ ) 
<->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)
3010, 7, 183anim123i 1089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
3129, 30sylbi 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
32 lesubadd2 7430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( K  -  M
)  <_  N  <->  K  <_  ( M  +  N ) ) )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( K  -  M )  <_  N 
<->  K  <_  ( M  +  N ) ) )
3433biimprcd 149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  <_  ( M  +  N )  ->  (
( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M )  <_  N ) )
3534adantl 262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N ) )  -> 
( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M )  <_  N ) )
3635impcom 116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( K  -  M
)  <_  N )
376, 26, 363jca 1084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  ( K  -  M
)  <_  N )
)
3837exp31 346 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N )
)  ->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N
) ) ) )
3938com23 72 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N )
)  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N
) ) ) )
40393adant2 923 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N )
)  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N
) ) ) )
4140imp 115 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N ) ) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N
) ) )
4241com12 27 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  ( K  -  M
)  <_  N )
) )
431, 42syl5bi 141 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ( M ... ( M  +  N
) )  ->  (
( K  -  M
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N ) ) )
4443imp 115 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ( M ... ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  ( K  -  M
)  <_  N )
)
45 elfz2nn0 8973 . 2  |-  ( ( K  -  M )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N
) )
4644, 45sylibr 137 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ( M ... ( M  +  N
) ) )  -> 
( K  -  M
)  e.  ( 0 ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    /\ w3a 885    e. wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   RRcr 6888   0cc0 6889    + caddc 6892    <_ cle 7061    - cmin 7182   NN0cn0 8181   ZZcz 8245   ...cfz 8874
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875
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