Theorem elfzmlbp 8760

Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzmlbp	|- (( N e. ZZ /\ K e. ( M ...( M + N))) -> ( K - M) e. ( 0 ... N))

Proof of Theorem elfzmlbp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 8651	. . . 4 |- ( K e. ( M ...( M + N)) <-> (( M e. ZZ /\ ( M + N) e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N))))
2		znn0sub 8085	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (( M e. ZZ /\ K e. ZZ) -> ( M <_ K <-> ( K - M) e. NN0))
3	2	adantr 261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) -> ( M <_ K <-> ( K - M) e. NN0))
4	3	biimpcd 148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M <_ K -> ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) -> ( K - M) e. NN0))
5	4	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 |- (( M <_ K /\ K <_ ( M + N)) -> ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) -> ( K - M) e. NN0))
6	5	impcom 116	. . . . . . . . . 10 |- (((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N))) -> ( K - M) e. NN0)
7		zre 8025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> M e. RR)
8	7	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (( M e. ZZ /\ K e. ZZ) -> M e. RR)
9	8	adantr 261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) -> M e. RR)
10		zre 8025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ZZ -> K e. RR)
11	10	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (( M e. ZZ /\ K e. ZZ) -> K e. RR)
12	11	adantr 261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) -> K e. RR)
13		zaddcl 8061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (( M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ( M + N) e. ZZ)
14	13	adantlr 446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) -> ( M + N) e. ZZ)
15	14	zred 8136	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) -> ( M + N) e. RR)
16		letr 6898	. . . . . . . . . . . . 13 |- (( M e. RR /\ K e. RR /\ ( M + N) e. RR) -> (( M <_ K /\ K <_ ( M + N)) -> M <_ ( M + N)))
17	9, 12, 15, 16	syl3anc 1134	. . . . . . . . . . . 12 |- ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) -> (( M <_ K /\ K <_ ( M + N)) -> M <_ ( M + N)))
18		zre 8025	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. RR)
19		addge01 7262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (( M e. RR /\ N e. RR) -> ( 0 <_ N <-> M <_ ( M + N)))
20	8, 18, 19	syl2an 273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) -> ( 0 <_ N <-> M <_ ( M + N)))
21		elnn0z 8034	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N))
22	21	simplbi2 367	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ N -> N e. NN0))
23	22	adantl 262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) -> ( 0 <_ N -> N e. NN0))
24	20, 23	sylbird 159	. . . . . . . . . . . 12 |- ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) -> ( M <_ ( M + N) -> N e. NN0))
25	17, 24	syld 40	. . . . . . . . . . 11 |- ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) -> (( M <_ K /\ K <_ ( M + N)) -> N e. NN0))
26	25	imp 115	. . . . . . . . . 10 |- (((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N))) -> N e. NN0)
27		df-3an 886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) <-> (( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ))
28		3ancoma 891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) <-> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ))
29	27, 28	bitr3i 175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) <-> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ))
30	10, 7, 18	3anim123i 1088	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ( K e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR))
31	29, 30	sylbi 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) -> ( K e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR))
32		lesubadd2 7225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (( K e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR) -> (( K - M) <_ N <-> K <_ ( M + N)))
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) -> (( K - M) <_ N <-> K <_ ( M + N)))
34	33	biimprcd 149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K <_ ( M + N) -> ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) -> ( K - M) <_ N))
35	34	adantl 262	. . . . . . . . . . 11 |- (( M <_ K /\ K <_ ( M + N)) -> ((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) -> ( K - M) <_ N))
36	35	impcom 116	. . . . . . . . . 10 |- (((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N))) -> ( K - M) <_ N)
37	6, 26, 36	3jca 1083	. . . . . . . . 9 |- (((( M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ N e. ZZ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N))) -> (( K - M) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M) <_ N))
38	37	exp31 346	. . . . . . . 8 |- (( M e. ZZ /\ K e. ZZ) -> ( N e. ZZ -> (( M <_ K /\ K <_ ( M + N)) -> (( K - M) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M) <_ N))))
39	38	com23 72	. . . . . . 7 |- (( M e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (( M <_ K /\ K <_ ( M + N)) -> ( N e. ZZ -> (( K - M) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M) <_ N))))
40	39	3adant2 922	. . . . . 6 |- (( M e. ZZ /\ ( M + N) e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (( M <_ K /\ K <_ ( M + N)) -> ( N e. ZZ -> (( K - M) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M) <_ N))))
41	40	imp 115	. . . . 5 |- ((( M e. ZZ /\ ( M + N) e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N))) -> ( N e. ZZ -> (( K - M) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M) <_ N)))
42	41	com12 27	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ((( M e. ZZ /\ ( M + N) e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N))) -> (( K - M) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M) <_ N)))
43	1, 42	syl5bi 141	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( K e. ( M ...( M + N)) -> (( K - M) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M) <_ N)))
44	43	imp 115	. 2 |- (( N e. ZZ /\ K e. ( M ...( M + N))) -> (( K - M) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M) <_ N))
45		elfz2nn0 8743	. 2 |- (( K - M) e. ( 0 ... N) <-> (( K - M) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M) <_ N))
46	44, 45	sylibr 137	1 |- (( N e. ZZ /\ K e. ( M ...( M + N))) -> ( K - M) e. ( 0 ... N))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 884   e. wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   RRcr 6710   0cc0 6711   + caddc 6714   <_ cle 6858   - cmin 6979   NN0cn0 7957   ZZcz 8021   ...cfz 8644

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645

This theorem is referenced by: (None)