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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > elfzmlbp | Unicode version |
Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.) |
Ref | Expression |
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elfzmlbp |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elfz2 8651 |
. . . 4
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2 | znn0sub 8085 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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3 | 2 | adantr 261 |
. . . . . . . . . . . . 13
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4 | 3 | biimpcd 148 |
. . . . . . . . . . . 12
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5 | 4 | adantr 261 |
. . . . . . . . . . 11
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6 | 5 | impcom 116 |
. . . . . . . . . 10
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7 | zre 8025 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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8 | 7 | adantr 261 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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9 | 8 | adantr 261 |
. . . . . . . . . . . . 13
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10 | zre 8025 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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11 | 10 | adantl 262 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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12 | 11 | adantr 261 |
. . . . . . . . . . . . 13
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13 | zaddcl 8061 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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14 | 13 | adantlr 446 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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15 | 14 | zred 8136 |
. . . . . . . . . . . . 13
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16 | letr 6898 |
. . . . . . . . . . . . 13
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17 | 9, 12, 15, 16 | syl3anc 1134 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | zre 8025 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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19 | addge01 7262 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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20 | 8, 18, 19 | syl2an 273 |
. . . . . . . . . . . . 13
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21 | elnn0z 8034 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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22 | 21 | simplbi2 367 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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23 | 22 | adantl 262 |
. . . . . . . . . . . . 13
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24 | 20, 23 | sylbird 159 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | 17, 24 | syld 40 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | 25 | imp 115 |
. . . . . . . . . 10
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27 | df-3an 886 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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28 | 3ancoma 891 |
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29 | 27, 28 | bitr3i 175 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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30 | 10, 7, 18 | 3anim123i 1088 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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31 | 29, 30 | sylbi 114 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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32 | lesubadd2 7225 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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33 | 31, 32 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
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34 | 33 | biimprcd 149 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | 34 | adantl 262 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | 35 | impcom 116 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 6, 26, 36 | 3jca 1083 |
. . . . . . . . 9
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38 | 37 | exp31 346 |
. . . . . . . 8
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39 | 38 | com23 72 |
. . . . . . 7
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40 | 39 | 3adant2 922 |
. . . . . 6
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41 | 40 | imp 115 |
. . . . 5
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42 | 41 | com12 27 |
. . . 4
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43 | 1, 42 | syl5bi 141 |
. . 3
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44 | 43 | imp 115 |
. 2
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45 | elfz2nn0 8743 |
. 2
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46 | 44, 45 | sylibr 137 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-in1 544 ax-in2 545 ax-io 629 ax-5 1333 ax-7 1334 ax-gen 1335 ax-ie1 1379 ax-ie2 1380 ax-8 1392 ax-10 1393 ax-11 1394 ax-i12 1395 ax-bndl 1396 ax-4 1397 ax-13 1401 ax-14 1402 ax-17 1416 ax-i9 1420 ax-ial 1424 ax-i5r 1425 ax-ext 2019 ax-coll 3863 ax-sep 3866 ax-nul 3874 ax-pow 3918 ax-pr 3935 ax-un 4136 ax-setind 4220 ax-iinf 4254 ax-cnex 6774 ax-resscn 6775 ax-1cn 6776 ax-1re 6777 ax-icn 6778 ax-addcl 6779 ax-addrcl 6780 ax-mulcl 6781 ax-addcom 6783 ax-addass 6785 ax-distr 6787 ax-i2m1 6788 ax-0id 6791 ax-rnegex 6792 ax-cnre 6794 ax-pre-ltirr 6795 ax-pre-ltwlin 6796 ax-pre-lttrn 6797 ax-pre-ltadd 6799 |
This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-dc 742 df-3or 885 df-3an 886 df-tru 1245 df-fal 1248 df-nf 1347 df-sb 1643 df-eu 1900 df-mo 1901 df-clab 2024 df-cleq 2030 df-clel 2033 df-nfc 2164 df-ne 2203 df-nel 2204 df-ral 2305 df-rex 2306 df-reu 2307 df-rab 2309 df-v 2553 df-sbc 2759 df-csb 2847 df-dif 2914 df-un 2916 df-in 2918 df-ss 2925 df-nul 3219 df-pw 3353 df-sn 3373 df-pr 3374 df-op 3376 df-uni 3572 df-int 3607 df-iun 3650 df-br 3756 df-opab 3810 df-mpt 3811 df-tr 3846 df-eprel 4017 df-id 4021 df-po 4024 df-iso 4025 df-iord 4069 df-on 4071 df-suc 4074 df-iom 4257 df-xp 4294 df-rel 4295 df-cnv 4296 df-co 4297 df-dm 4298 df-rn 4299 df-res 4300 df-ima 4301 df-iota 4810 df-fun 4847 df-fn 4848 df-f 4849 df-f1 4850 df-fo 4851 df-f1o 4852 df-fv 4853 df-riota 5411 df-ov 5458 df-oprab 5459 df-mpt2 5460 df-1st 5709 df-2nd 5710 df-recs 5861 df-irdg 5897 df-1o 5940 df-2o 5941 df-oadd 5944 df-omul 5945 df-er 6042 df-ec 6044 df-qs 6048 df-ni 6288 df-pli 6289 df-mi 6290 df-lti 6291 df-plpq 6328 df-mpq 6329 df-enq 6331 df-nqqs 6332 df-plqqs 6333 df-mqqs 6334 df-1nqqs 6335 df-rq 6336 df-ltnqqs 6337 df-enq0 6407 df-nq0 6408 df-0nq0 6409 df-plq0 6410 df-mq0 6411 df-inp 6449 df-i1p 6450 df-iplp 6451 df-iltp 6453 df-enr 6654 df-nr 6655 df-ltr 6658 df-0r 6659 df-1r 6660 df-0 6718 df-1 6719 df-r 6721 df-lt 6724 df-pnf 6859 df-mnf 6860 df-xr 6861 df-ltxr 6862 df-le 6863 df-sub 6981 df-neg 6982 df-inn 7696 df-n0 7958 df-z 8022 df-uz 8250 df-fz 8645 |
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