ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz1eq Unicode version

Theorem elfz1eq 8899
Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz1eq  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  =  N )

Proof of Theorem elfz1eq
StepHypRef Expression
1 elfzle2 8892 . 2  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  <_  N )
2 elfzle1 8891 . 2  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  N  <_  K )
3 elfzelz 8890 . . 3  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  e.  ZZ )
4 elfzel2 8888 . . 3  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  N  e.  ZZ )
5 zre 8249 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
6 zre 8249 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
7 letri3 7099 . . . 4  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  =  N  <-> 
( K  <_  N  /\  N  <_  K ) ) )
85, 6, 7syl2an 273 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  =  N  <-> 
( K  <_  N  /\  N  <_  K ) ) )
93, 4, 8syl2anc 391 . 2  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  ( K  =  N  <->  ( K  <_  N  /\  N  <_  K ) ) )
101, 2, 9mpbir2and 851 1  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    = wceq 1243    e. wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   RRcr 6888    <_ cle 7061   ZZcz 8245   ...cfz 8874
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-apti 6999
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-neg 7185  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875
This theorem is referenced by:  fzsn  8929  fz1sbc  8958  fzm1  8962
  Copyright terms: Public domain W3C validator