ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  domtr Structured version   Unicode version

Theorem domtr 6201
Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
domtr  ~<_  ~<_  C  ~<_  C

Proof of Theorem domtr
Dummy variables  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 6162 . 2  Rel  ~<_
2 vex 2554 . . . 4 
_V
32brdom 6167 . . 3  ~<_  : -1-1->
4 vex 2554 . . . 4 
_V
54brdom 6167 . . 3  ~<_  : -1-1->
6 eeanv 1804 . . . 4  : -1-1->  : -1-1->  : -1-1->  :
-1-1->
7 f1co 5044 . . . . . . . 8  : -1-1->  : -1-1->  o.  : -1-1->
87ancoms 255 . . . . . . 7  : -1-1->  : -1-1->  o.  : -1-1->
9 vex 2554 . . . . . . . . 9 
_V
10 vex 2554 . . . . . . . . 9 
_V
119, 10coex 4806 . . . . . . . 8  o. 
_V
12 f1eq1 5030 . . . . . . . 8  h  o.  h : -1-1->  o.  : -1-1->
1311, 12spcev 2641 . . . . . . 7  o.  : -1-1->  h  h : -1-1->
148, 13syl 14 . . . . . 6  : -1-1->  : -1-1->  h  h : -1-1->
154brdom 6167 . . . . . 6  ~<_  h  h : -1-1->
1614, 15sylibr 137 . . . . 5  : -1-1->  : -1-1->  ~<_
1716exlimivv 1773 . . . 4  : -1-1->  : -1-1->  ~<_
186, 17sylbir 125 . . 3  : -1-1->  : -1-1->  ~<_
193, 5, 18syl2anb 275 . 2  ~<_  ~<_  ~<_
201, 19vtoclr 4331 1  ~<_  ~<_  C  ~<_  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97  wex 1378   class class class wbr 3755    o. ccom 4292   -1-1->wf1 4842    ~<_ cdom 6156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-dom 6159
This theorem is referenced by:  endomtr  6206  domentr  6207
  Copyright terms: Public domain W3C validator