ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmmulpq Structured version   Unicode version

Theorem dmmulpq 6364
Description: Domain of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
dmmulpq  dom  .Q  Q.  X.  Q.

Proof of Theorem dmmulpq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmoprab 5527 . . 3  dom  { <. <. , 
>. ,  >.  | 
Q.  Q.  <. , 
>.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >.  .pQ 
<. ,  >.  ~Q  }  { <. ,  >.  | 
Q.  Q.  <. , 
>.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >.  .pQ 
<. ,  >.  ~Q  }
2 df-mqqs 6334 . . . 4  .Q  { <. <. , 
>. ,  >.  | 
Q.  Q.  <. , 
>.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >.  .pQ 
<. ,  >.  ~Q  }
32dmeqi 4479 . . 3  dom  .Q  dom  { <. <. ,  >. ,  >.  | 
Q.  Q.  <. , 
>.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >.  .pQ 
<. ,  >.  ~Q  }
4 dmaddpqlem 6361 . . . . . . . . 9  Q.  <. , 
>.  ~Q
5 dmaddpqlem 6361 . . . . . . . . 9  Q.  <. , 
>.  ~Q
64, 5anim12i 321 . . . . . . . 8  Q.  Q.  <. ,  >. 
~Q  <. , 
>.  ~Q
7 ee4anv 1806 . . . . . . . 8  <. , 
>.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  <. , 
>.  ~Q
86, 7sylibr 137 . . . . . . 7  Q.  Q.  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q
9 enqex 6344 . . . . . . . . . . . . . 14  ~Q  _V
10 ecexg 6046 . . . . . . . . . . . . . 14  ~Q  _V  <. ,  >.  .pQ 
<. ,  >.  ~Q  _V
119, 10ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . 13  <. ,  >.  .pQ 
<. ,  >.  ~Q  _V
1211isseti 2557 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  >.  .pQ 
<. ,  >.  ~Q
13 ax-ia3 101 . . . . . . . . . . . . 13  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q  <. , 
>.  .pQ  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >. 
~Q  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >.  .pQ 
<. ,  >.  ~Q
1413eximdv 1757 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >.  .pQ 
<. ,  >.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >.  .pQ 
<. ,  >.  ~Q
1512, 14mpi 15 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >. 
~Q  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >.  .pQ 
<. ,  >.  ~Q
16152eximi 1489 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q  <. , 
>.  .pQ  <. , 
>.  ~Q
17 exrot3 1577 . . . . . . . . . 10  <. ,  >. 
~Q  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >.  .pQ 
<. ,  >.  ~Q  <. ,  >. 
~Q  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >.  .pQ 
<. ,  >.  ~Q
1816, 17sylibr 137 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q  <. , 
>.  .pQ  <. , 
>.  ~Q
19182eximi 1489 . . . . . . . 8  <. , 
>.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >. 
~Q  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >.  .pQ 
<. ,  >.  ~Q
20 exrot3 1577 . . . . . . . 8  <. ,  >. 
~Q  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >.  .pQ 
<. ,  >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q  <. , 
>.  .pQ  <. , 
>.  ~Q
2119, 20sylibr 137 . . . . . . 7  <. , 
>.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >. 
~Q  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >.  .pQ 
<. ,  >.  ~Q
228, 21syl 14 . . . . . 6  Q.  Q.  <. , 
>.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >.  .pQ 
<. ,  >.  ~Q
2322pm4.71i 371 . . . . 5  Q.  Q.  Q.  Q.  <. , 
>.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >.  .pQ 
<. ,  >.  ~Q
24 19.42v 1783 . . . . 5 
Q.  Q.  <. , 
>.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >.  .pQ 
<. ,  >.  ~Q 
Q.  Q.  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q  <. , 
>.  .pQ  <. , 
>.  ~Q
2523, 24bitr4i 176 . . . 4  Q.  Q.  Q.  Q.  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q  <. , 
>.  .pQ  <. , 
>.  ~Q
2625opabbii 3815 . . 3  { <. ,  >.  |  Q.  Q. }  { <. ,  >.  | 
Q.  Q.  <. , 
>.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >.  .pQ 
<. ,  >.  ~Q  }
271, 3, 263eqtr4i 2067 . 2  dom  .Q  { <. , 
>.  |  Q. 
Q. }
28 df-xp 4294 . 2  Q. 
X.  Q.  { <. ,  >.  |  Q.  Q. }
2927, 28eqtr4i 2060 1  dom  .Q  Q.  X.  Q.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551   <.cop 3370   {copab 3808    X. cxp 4286   dom cdm 4288  (class class class)co 5455   {coprab 5456  cec 6040    .pQ cmpq 6261    ~Q ceq 6263   Q.cnq 6264    .Q cmq 6267
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-iom 4257  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-oprab 5459  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-mqqs 6334
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator