ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmmulpi Unicode version

Theorem dmmulpi 6424
Description: Domain of multiplication on positive integers. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
dmmulpi  |-  dom  .N  =  ( N.  X.  N. )

Proof of Theorem dmmulpi
StepHypRef Expression
1 dmres 4632 . . 3  |-  dom  (  .o  |`  ( N.  X.  N. ) )  =  ( ( N.  X.  N. )  i^i  dom  .o  )
2 fnom 6030 . . . . 5  |-  .o  Fn  ( On  X.  On )
3 fndm 4998 . . . . 5  |-  (  .o  Fn  ( On  X.  On )  ->  dom  .o  =  ( On  X.  On ) )
42, 3ax-mp 7 . . . 4  |-  dom  .o  =  ( On  X.  On )
54ineq2i 3135 . . 3  |-  ( ( N.  X.  N. )  i^i  dom  .o  )  =  ( ( N.  X.  N. )  i^i  ( On  X.  On ) )
61, 5eqtri 2060 . 2  |-  dom  (  .o  |`  ( N.  X.  N. ) )  =  ( ( N.  X.  N. )  i^i  ( On  X.  On ) )
7 df-mi 6404 . . 3  |-  .N  =  (  .o  |`  ( N.  X.  N. ) )
87dmeqi 4536 . 2  |-  dom  .N  =  dom  (  .o  |`  ( N.  X.  N. ) )
9 df-ni 6402 . . . . . . 7  |-  N.  =  ( om  \  { (/) } )
10 difss 3070 . . . . . . 7  |-  ( om 
\  { (/) } ) 
C_  om
119, 10eqsstri 2975 . . . . . 6  |-  N.  C_  om
12 omsson 4335 . . . . . 6  |-  om  C_  On
1311, 12sstri 2954 . . . . 5  |-  N.  C_  On
14 anidm 376 . . . . 5  |-  ( ( N.  C_  On  /\  N.  C_  On )  <->  N.  C_  On )
1513, 14mpbir 134 . . . 4  |-  ( N.  C_  On  /\  N.  C_  On )
16 xpss12 4445 . . . 4  |-  ( ( N.  C_  On  /\  N.  C_  On )  ->  ( N.  X.  N. )  C_  ( On  X.  On ) )
1715, 16ax-mp 7 . . 3  |-  ( N. 
X.  N. )  C_  ( On  X.  On )
18 dfss 2932 . . 3  |-  ( ( N.  X.  N. )  C_  ( On  X.  On ) 
<->  ( N.  X.  N. )  =  ( ( N.  X.  N. )  i^i  ( On  X.  On ) ) )
1917, 18mpbi 133 . 2  |-  ( N. 
X.  N. )  =  ( ( N.  X.  N. )  i^i  ( On  X.  On ) )
206, 8, 193eqtr4i 2070 1  |-  dom  .N  =  ( N.  X.  N. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 97    = wceq 1243    \ cdif 2914    i^i cin 2916    C_ wss 2917   (/)c0 3224   {csn 3375   Oncon0 4100   omcom 4313    X. cxp 4343   dom cdm 4345    |` cres 4347    Fn wfn 4897    .o comu 5999   N.cnpi 6370    .N cmi 6372
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-ni 6402  df-mi 6404
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator