Theorem dm0rn0 4552

Description: An empty domain implies an empty range. (Contributed by NM, 21-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
dm0rn0	|- ( dom A = (/) <-> ran A = (/) )

Proof of Theorem dm0rn0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alnex 1388	. . . . . 6 |- ( A. x -. E. y x A y <-> -. E. x E. y x A y )
2		excom 1554	. . . . . 6 |- ( E. x E. y x A y <-> E. y E. x x A y )
3	1, 2	xchbinx 607	. . . . 5 |- ( A. x -. E. y x A y <-> -. E. y E. x x A y )
4		alnex 1388	. . . . 5 |- ( A. y -. E. x x A y <-> -. E. y E. x x A y )
5	3, 4	bitr4i 176	. . . 4 |- ( A. x -. E. y x A y <-> A. y -. E. x x A y )
6		noel 3228	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
7	6	nbn 615	. . . . 5 |- ( -. E. y x A y <-> ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
8	7	albii 1359	. . . 4 |- ( A. x -. E. y x A y <-> A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
9		noel 3228	. . . . . 6 |- -. y e. (/)
10	9	nbn 615	. . . . 5 |- ( -. E. x x A y <-> ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
11	10	albii 1359	. . . 4 |- ( A. y -. E. x x A y <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
12	5, 8, 11	3bitr3i 199	. . 3 |- ( A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
13		abeq1 2147	. . 3 |- ( { x | E. y x A y } = (/) <-> A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
14		abeq1 2147	. . 3 |- ( { y | E. x x A y } = (/) <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
15	12, 13, 14	3bitr4i 201	. 2 |- ( { x | E. y x A y } = (/) <-> { y | E. x x A y } = (/) )
16		df-dm 4355	. . 3 |- dom A = { x | E. y x A y }
17	16	eqeq1i 2047	. 2 |- ( dom A = (/) <-> { x | E. y x A y } = (/) )
18		dfrn2 4523	. . 3 |- ran A = { y | E. x x A y }
19	18	eqeq1i 2047	. 2 |- ( ran A = (/) <-> { y | E. x x A y } = (/) )
20	15, 17, 19	3bitr4i 201	1 |- ( dom A = (/) <-> ran A = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 98   A.wal 1241   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   {cab 2026   (/)c0 3224   class class class wbr 3764   dom cdm 4345   ran crn 4346

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356

This theorem is referenced by:  rn0  4588  relrn0  4594  imadisj  4687  ndmima  4702  f00  5081  2nd0  5772