Theorem divvalap 7653

Description: Value of division: the (unique) element x such that ( B x. x ) = A. This is meaningful only when B is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divvalap	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( A / B ) = ( iota_ x e. CC ( B x. x ) = A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem divvalap

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 904	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> A e. CC )
2		simp2 905	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> B e. CC )
3		0cn 7019	. . . . . 6 |- 0 e. CC
4		apne 7614	. . . . . 6 |- ( ( B e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( B # 0 -> B =/= 0 ) )
5	3, 4	mpan2 401	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( B # 0 -> B =/= 0 ) )
6	5	adantl 262	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B # 0 -> B =/= 0 ) )
7	6	3impia 1101	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> B =/= 0 )
8		eldifsn 3495	. . 3 |- ( B e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( B e. CC /\ B =/= 0 ) )
9	2, 7, 8	sylanbrc 394	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> B e. ( CC \ { 0 } ) )
10		receuap 7650	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> E! x e. CC ( B x. x ) = A )
11		riotacl 5482	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B x. x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B x. x ) = A ) e. CC )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( iota_ x e. CC ( B x. x ) = A ) e. CC )
13		eqeq2 2049	. . . 4 |- ( z = A -> ( ( y x. x ) = z <-> ( y x. x ) = A ) )
14	13	riotabidv 5470	. . 3 |- ( z = A -> ( iota_ x e. CC ( y x. x ) = z ) = ( iota_ x e. CC ( y x. x ) = A ) )
15		oveq1 5519	. . . . 5 |- ( y = B -> ( y x. x ) = ( B x. x ) )
16	15	eqeq1d 2048	. . . 4 |- ( y = B -> ( ( y x. x ) = A <-> ( B x. x ) = A ) )
17	16	riotabidv 5470	. . 3 |- ( y = B -> ( iota_ x e. CC ( y x. x ) = A ) = ( iota_ x e. CC ( B x. x ) = A ) )
18		df-div 7652	. . 3 |- / = ( z e. CC , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( iota_ x e. CC ( y x. x ) = z ) )
19	14, 17, 18	ovmpt2g 5635	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. ( CC \ { 0 } ) /\ ( iota_ x e. CC ( B x. x ) = A ) e. CC ) -> ( A / B ) = ( iota_ x e. CC ( B x. x ) = A ) )
20	1, 9, 12, 19	syl3anc 1135	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( A / B ) = ( iota_ x e. CC ( B x. x ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   =/= wne 2204   E!wreu 2308   \ cdif 2914   {csn 3375   class class class wbr 3764   iota_crio 5467  (class class class)co 5512   CCcc 6887   0cc0 6889   x. cmul 6894   # cap 7572   / cdiv 7651

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652

This theorem is referenced by:  divmulap  7654  divclap  7657