Theorem disjsn2 3433

Description: Intersection of distinct singletons is disjoint. (Contributed by NM, 25-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
disjsn2	|- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )

Proof of Theorem disjsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsni 3393	. . . 4 |- ( B e. { A } -> B = A )
2	1	eqcomd 2045	. . 3 |- ( B e. { A } -> A = B )
3	2	necon3ai 2254	. 2 |- ( A =/= B -> -. B e. { A } )
4		disjsn 3432	. 2 |- ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. { A } )
5	3, 4	sylibr 137	1 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1243   e. wcel 1393   =/= wne 2204   i^i cin 2916   (/)c0 3224   {csn 3375

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-v 2559  df-dif 2920  df-in 2924  df-nul 3225  df-sn 3381

This theorem is referenced by:  disjpr2  3434  difprsn1  3503  diftpsn3  3505  xpsndisj  4749  funprg  4949  funtp  4952  f1oprg  5168  phplem1  6315