ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  disjpr2 Structured version   Unicode version

Theorem disjpr2 3425
Description: The intersection of distinct unordered pairs is disjoint. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
disjpr2  =/=  C  =/=  C  =/=  D  =/=  D  { ,  }  i^i  { C ,  D }  (/)

Proof of Theorem disjpr2
StepHypRef Expression
1 df-pr 3374 . . . 4  { C ,  D }  { C }  u.  { D }
21a1i 9 . . 3  =/=  C  =/=  C  =/=  D  =/=  D  { C ,  D }  { C }  u.  { D }
32ineq2d 3132 . 2  =/=  C  =/=  C  =/=  D  =/=  D  { ,  }  i^i  { C ,  D }  { ,  }  i^i  { C }  u.  { D }
4 indi 3178 . . 3  { ,  }  i^i  { C }  u.  { D }  { ,  }  i^i  { C }  u.  { ,  }  i^i  { D }
5 df-pr 3374 . . . . . . . 8  { ,  }  { }  u.  { }
65ineq1i 3128 . . . . . . 7  { ,  }  i^i  { C }  { }  u.  { }  i^i  { C }
7 indir 3180 . . . . . . 7  { }  u.  { }  i^i 
{ C }  { }  i^i  { C }  u.  { }  i^i  { C }
86, 7eqtri 2057 . . . . . 6  { ,  }  i^i  { C }  { }  i^i  { C }  u.  { }  i^i  { C }
9 disjsn2 3424 . . . . . . . . . 10  =/=  C  { }  i^i  { C }  (/)
109adantr 261 . . . . . . . . 9  =/=  C  =/=  C  { }  i^i  { C }  (/)
1110adantr 261 . . . . . . . 8  =/=  C  =/=  C  =/=  D  =/=  D  { }  i^i  { C }  (/)
12 disjsn2 3424 . . . . . . . . . 10  =/=  C  { }  i^i  { C }  (/)
1312adantl 262 . . . . . . . . 9  =/=  C  =/=  C  { }  i^i  { C }  (/)
1413adantr 261 . . . . . . . 8  =/=  C  =/=  C  =/=  D  =/=  D  { }  i^i  { C }  (/)
1511, 14jca 290 . . . . . . 7  =/=  C  =/=  C  =/=  D  =/=  D  { }  i^i  { C }  (/)  { }  i^i  { C }  (/)
16 un00 3257 . . . . . . 7  { }  i^i  { C }  (/)  { }  i^i  { C }  (/)  { }  i^i  { C }  u.  { }  i^i  { C }  (/)
1715, 16sylib 127 . . . . . 6  =/=  C  =/=  C  =/=  D  =/=  D  { }  i^i  { C }  u.  { }  i^i  { C }  (/)
188, 17syl5eq 2081 . . . . 5  =/=  C  =/=  C  =/=  D  =/=  D  { ,  }  i^i  { C }  (/)
195ineq1i 3128 . . . . . . 7  { ,  }  i^i  { D }  { }  u.  { }  i^i  { D }
20 indir 3180 . . . . . . 7  { }  u.  { }  i^i 
{ D }  { }  i^i  { D }  u.  { }  i^i  { D }
2119, 20eqtri 2057 . . . . . 6  { ,  }  i^i  { D }  { }  i^i  { D }  u.  { }  i^i  { D }
22 disjsn2 3424 . . . . . . . . . 10  =/=  D  { }  i^i  { D }  (/)
2322adantr 261 . . . . . . . . 9  =/=  D  =/=  D  { }  i^i  { D }  (/)
2423adantl 262 . . . . . . . 8  =/=  C  =/=  C  =/=  D  =/=  D  { }  i^i  { D }  (/)
25 disjsn2 3424 . . . . . . . . . 10  =/=  D  { }  i^i  { D }  (/)
2625adantl 262 . . . . . . . . 9  =/=  D  =/=  D  { }  i^i  { D }  (/)
2726adantl 262 . . . . . . . 8  =/=  C  =/=  C  =/=  D  =/=  D  { }  i^i  { D }  (/)
2824, 27jca 290 . . . . . . 7  =/=  C  =/=  C  =/=  D  =/=  D  { }  i^i  { D }  (/)  { }  i^i  { D }  (/)
29 un00 3257 . . . . . . 7  { }  i^i  { D }  (/)  { }  i^i  { D }  (/)  { }  i^i  { D }  u.  { }  i^i  { D }  (/)
3028, 29sylib 127 . . . . . 6  =/=  C  =/=  C  =/=  D  =/=  D  { }  i^i  { D }  u.  { }  i^i  { D }  (/)
3121, 30syl5eq 2081 . . . . 5  =/=  C  =/=  C  =/=  D  =/=  D  { ,  }  i^i  { D }  (/)
3218, 31uneq12d 3092 . . . 4  =/=  C  =/=  C  =/=  D  =/=  D  { ,  }  i^i  { C }  u.  { ,  }  i^i  { D }  (/)  u.  (/)
33 un0 3245 . . . 4  (/)  u.  (/)  (/)
3432, 33syl6eq 2085 . . 3  =/=  C  =/=  C  =/=  D  =/=  D  { ,  }  i^i  { C }  u.  { ,  }  i^i  { D }  (/)
354, 34syl5eq 2081 . 2  =/=  C  =/=  C  =/=  D  =/=  D  { ,  }  i^i  { C }  u.  { D }  (/)
363, 35eqtrd 2069 1  =/=  C  =/=  C  =/=  D  =/=  D  { ,  }  i^i  { C ,  D }  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242    =/= wne 2201    u. cun 2909    i^i cin 2910   (/)c0 3218   {csn 3367   {cpr 3368
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-sn 3373  df-pr 3374
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator