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Theorem difopab 4469
Description: The difference of two ordered-pair abstractions. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
difopab  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  \  { <. x ,  y >.  |  ps } )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( ph  /\ 
-.  ps ) }
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y)

Proof of Theorem difopab
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relopab 4464 . . 3  |-  Rel  { <. x ,  y >.  |  ph }
2 reldif 4457 . . 3  |-  ( Rel 
{ <. x ,  y
>.  |  ph }  ->  Rel  ( { <. x ,  y >.  |  ph }  \  { <. x ,  y >.  |  ps } ) )
31, 2ax-mp 7 . 2  |-  Rel  ( { <. x ,  y
>.  |  ph }  \  { <. x ,  y
>.  |  ps } )
4 relopab 4464 . 2  |-  Rel  { <. x ,  y >.  |  ( ph  /\  -.  ps ) }
5 sbcan 2805 . . . 4  |-  ( [. z  /  x ]. ( [. w  /  y ]. ph  /\  [. w  /  y ].  -.  ps )  <->  ( [. z  /  x ]. [. w  /  y ]. ph  /\  [. z  /  x ]. [. w  /  y ].  -.  ps ) )
6 sbcan 2805 . . . . 5  |-  ( [. w  /  y ]. ( ph  /\  -.  ps )  <->  (
[. w  /  y ]. ph  /\  [. w  /  y ].  -.  ps ) )
76sbcbii 2818 . . . 4  |-  ( [. z  /  x ]. [. w  /  y ]. ( ph  /\  -.  ps )  <->  [. z  /  x ]. ( [. w  /  y ]. ph  /\  [. w  /  y ].  -.  ps ) )
8 opelopabsb 3997 . . . . 5  |-  ( <.
z ,  w >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  [. z  /  x ]. [. w  / 
y ]. ph )
9 vex 2560 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
10 sbcng 2803 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  ( [. z  /  x ].  -.  [. w  / 
y ]. ps  <->  -.  [. z  /  x ]. [. w  /  y ]. ps ) )
119, 10ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( [. z  /  x ].  -.  [. w  /  y ]. ps 
<->  -.  [. z  /  x ]. [. w  / 
y ]. ps )
12 vex 2560 . . . . . . . 8  |-  w  e. 
_V
13 sbcng 2803 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  _V  ->  ( [. w  /  y ].  -.  ps  <->  -.  [. w  /  y ]. ps ) )
1412, 13ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( [. w  /  y ].  -.  ps 
<->  -.  [. w  / 
y ]. ps )
1514sbcbii 2818 . . . . . 6  |-  ( [. z  /  x ]. [. w  /  y ].  -.  ps 
<-> 
[. z  /  x ].  -.  [. w  / 
y ]. ps )
16 opelopabsb 3997 . . . . . . 7  |-  ( <.
z ,  w >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ps }  <->  [. z  /  x ]. [. w  / 
y ]. ps )
1716notbii 594 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. z ,  w >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ps }  <->  -.  [. z  /  x ]. [. w  /  y ]. ps )
1811, 15, 173bitr4ri 202 . . . . 5  |-  ( -. 
<. z ,  w >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ps }  <->  [. z  /  x ]. [. w  / 
y ].  -.  ps )
198, 18anbi12i 433 . . . 4  |-  ( (
<. z ,  w >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ph }  /\  -.  <. z ,  w >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ps } )  <->  ( [. z  /  x ]. [. w  /  y ]. ph  /\  [. z  /  x ]. [. w  /  y ].  -.  ps ) )
205, 7, 193bitr4ri 202 . . 3  |-  ( (
<. z ,  w >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ph }  /\  -.  <. z ,  w >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ps } )  <->  [. z  /  x ]. [. w  / 
y ]. ( ph  /\  -.  ps ) )
21 eldif 2927 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( { <. x ,  y >.  |  ph }  \  { <. x ,  y >.  |  ps } )  <->  ( <. z ,  w >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }  /\  -.  <.
z ,  w >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ps } ) )
22 opelopabsb 3997 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ( ph  /\ 
-.  ps ) }  <->  [. z  /  x ]. [. w  / 
y ]. ( ph  /\  -.  ps ) )
2320, 21, 223bitr4i 201 . 2  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( { <. x ,  y >.  |  ph }  \  { <. x ,  y >.  |  ps } )  <->  <. z ,  w >.  e.  { <. x ,  y >.  |  (
ph  /\  -.  ps ) } )
243, 4, 23eqrelriiv 4434 1  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  \  { <. x ,  y >.  |  ps } )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( ph  /\ 
-.  ps ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 97    <-> wb 98    = wceq 1243    e. wcel 1393   _Vcvv 2557   [.wsbc 2764    \ cdif 2914   <.cop 3378   {copab 3817   Rel wrel 4350
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352
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