Theorem dfiun3g 4589

Description: Alternate definition of indexed union when B is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfiun3g	|- ( A. x e. A B e. C -> U_ x e. A B = U. ran ( x e. A |-> B ) )

Proof of Theorem dfiun3g

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun2g 3689	. 2 |- ( A. x e. A B e. C -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )
2		eqid 2040	. . . 4 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	2	rnmpt 4582	. . 3 |- ran ( x e. A |-> B ) = { y | E. x e. A y = B }
4	3	unieqi 3590	. 2 |- U. ran ( x e. A |-> B ) = U. { y | E. x e. A y = B }
5	1, 4	syl6eqr 2090	1 |- ( A. x e. A B e. C -> U_ x e. A B = U. ran ( x e. A |-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1243   e. wcel 1393   {cab 2026   A.wral 2306   E.wrex 2307   U.cuni 3580   U_ciun 3657   |-> cmpt 3818   ran crn 4346

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356

This theorem is referenced by:  dfiun3  4591  iunon  5899