Theorem dffv3g 5174

Description: A definition of function value in terms of iota. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dffv3g	|- ( A e. V -> ( F ` A ) = ( iota x x e. ( F " { A } ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, A   x, V

Proof of Theorem dffv3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2560	. . . 4 |- x e. _V
2		elimasng 4693	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. _V ) -> ( x e. ( F " { A } ) <-> <. A , x >. e. F ) )
3		df-br 3765	. . . . 5 |- ( A F x <-> <. A , x >. e. F )
4	2, 3	syl6bbr 187	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ x e. _V ) -> ( x e. ( F " { A } ) <-> A F x ) )
5	1, 4	mpan2 401	. . 3 |- ( A e. V -> ( x e. ( F " { A } ) <-> A F x ) )
6	5	iotabidv 4888	. 2 |- ( A e. V -> ( iota x x e. ( F " { A } ) ) = ( iota x A F x ) )
7		df-fv 4910	. 2 |- ( F ` A ) = ( iota x A F x )
8	6, 7	syl6reqr 2091	1 |- ( A e. V -> ( F ` A ) = ( iota x x e. ( F " { A } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   {csn 3375   <.cop 3378   class class class wbr 3764   "cima 4348   iotacio 4865   ` cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fv 4910

This theorem is referenced by:  dffv4g  5175  fvco2  5242  shftval  9426