Theorem decsuc 8390

Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.1	|- A e. NN0
declt.2	|- B e. NN0
decsuc.3	|- ( B + 1 ) = C
decsuc.4	|- N = ; A B

Assertion

Ref	Expression
decsuc	|- ( N + 1 ) = ; A C

Proof of Theorem decsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 8206	. . 3 |- 10 e. NN0
2		declt.1	. . 3 |- A e. NN0
3		declt.2	. . 3 |- B e. NN0
4		decsuc.3	. . 3 |- ( B + 1 ) = C
5		decsuc.4	. . . 4 |- N = ; A B
6		df-dec 8369	. . . 4 |- ; A B = ( ( 10 x. A ) + B )
7	5, 6	eqtri 2060	. . 3 |- N = ( ( 10 x. A ) + B )
8	1, 2, 3, 4, 7	numsuc 8379	. 2 |- ( N + 1 ) = ( ( 10 x. A ) + C )
9		df-dec 8369	. 2 |- ; A C = ( ( 10 x. A ) + C )
10	8, 9	eqtr4i 2063	1 |- ( N + 1 ) = ; A C

Syntax hints:   = wceq 1243   e. wcel 1393  (class class class)co 5512   1c1 6890   + caddc 6892   x. cmul 6894   10c10 7972   NN0cn0 8181  ;cdc 8368

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-sub 7184  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-5 7976  df-6 7977  df-7 7978  df-8 7979  df-9 7980  df-10 7981  df-n0 8182  df-dec 8369

This theorem is referenced by:  6p5lem  8416