ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decmul2c Unicode version

Theorem decmul2c 8415
Description: The product of a numeral with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul1c.1  |-  P  e. 
NN0
decmul1c.2  |-  A  e. 
NN0
decmul1c.3  |-  B  e. 
NN0
decmul1c.4  |-  N  = ; A B
decmul1c.5  |-  D  e. 
NN0
decmul1c.6  |-  E  e. 
NN0
decmul2c.7  |-  ( ( P  x.  A )  +  E )  =  C
decmul2c.8  |-  ( P  x.  B )  = ; E D
Assertion
Ref Expression
decmul2c  |-  ( P  x.  N )  = ; C D

Proof of Theorem decmul2c
StepHypRef Expression
1 10nn0 8206 . . 3  |-  10  e.  NN0
2 decmul1c.1 . . 3  |-  P  e. 
NN0
3 decmul1c.2 . . 3  |-  A  e. 
NN0
4 decmul1c.3 . . 3  |-  B  e. 
NN0
5 decmul1c.4 . . . 4  |-  N  = ; A B
6 df-dec 8369 . . . 4  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
75, 6eqtri 2060 . . 3  |-  N  =  ( ( 10  x.  A )  +  B
)
8 decmul1c.5 . . 3  |-  D  e. 
NN0
9 decmul1c.6 . . 3  |-  E  e. 
NN0
10 decmul2c.7 . . 3  |-  ( ( P  x.  A )  +  E )  =  C
11 decmul2c.8 . . . 4  |-  ( P  x.  B )  = ; E D
12 df-dec 8369 . . . 4  |- ; E D  =  ( ( 10  x.  E
)  +  D )
1311, 12eqtri 2060 . . 3  |-  ( P  x.  B )  =  ( ( 10  x.  E )  +  D
)
141, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13nummul2c 8404 . 2  |-  ( P  x.  N )  =  ( ( 10  x.  C )  +  D
)
15 df-dec 8369 . 2  |- ; C D  =  ( ( 10  x.  C
)  +  D )
1614, 15eqtr4i 2063 1  |-  ( P  x.  N )  = ; C D
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1243    e. wcel 1393  (class class class)co 5512    + caddc 6892    x. cmul 6894   10c10 7972   NN0cn0 8181  ;cdc 8368
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-sub 7184  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-5 7976  df-6 7977  df-7 7978  df-8 7979  df-9 7980  df-10 7981  df-n0 8182  df-dec 8369
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator