Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvg1nlemcau Unicode version

Theorem cvg1nlemcau 9583
 Description: Lemma for cvg1n 9585. By selecting spaced out terms for the modified sequence , the terms are within (without the constant ). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvg1n.f
cvg1n.c
cvg1n.cau
cvg1nlem.g
cvg1nlem.z
cvg1nlem.start
Assertion
Ref Expression
cvg1nlemcau
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)   (,)

Proof of Theorem cvg1nlemcau
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 482 . . . . . . 7
2 cvg1n.f . . . . . . . . 9
32ad2antrr 457 . . . . . . . 8
4 cvg1nlem.z . . . . . . . . . 10
54ad2antrr 457 . . . . . . . . 9
61, 5nnmulcld 7962 . . . . . . . 8
73, 6ffvelrnd 5303 . . . . . . 7
8 oveq1 5519 . . . . . . . . 9
98fveq2d 5182 . . . . . . . 8
10 cvg1nlem.g . . . . . . . 8
119, 10fvmptg 5248 . . . . . . 7
121, 7, 11syl2anc 391 . . . . . 6
1312, 7eqeltrd 2114 . . . . 5
14 eluznn 8538 . . . . . . . . 9
1514adantll 445 . . . . . . . 8
1615, 5nnmulcld 7962 . . . . . . . . 9
173, 16ffvelrnd 5303 . . . . . . . 8
18 oveq1 5519 . . . . . . . . . 10
1918fveq2d 5182 . . . . . . . . 9
2019, 10fvmptg 5248 . . . . . . . 8
2115, 17, 20syl2anc 391 . . . . . . 7
2221, 17eqeltrd 2114 . . . . . 6
23 cvg1n.c . . . . . . . . 9
2423rpred 8622 . . . . . . . 8
2524ad2antrr 457 . . . . . . 7
2625, 6nndivred 7963 . . . . . 6
2722, 26readdcld 7055 . . . . 5
281nnrecred 7960 . . . . . 6
2922, 28readdcld 7055 . . . . 5
30 eluzle 8485 . . . . . . . . . . . 12
3130adantl 262 . . . . . . . . . . 11
321nnred 7927 . . . . . . . . . . . 12
3315nnred 7927 . . . . . . . . . . . 12
345nnrpd 8621 . . . . . . . . . . . 12
3532, 33, 34lemul1d 8666 . . . . . . . . . . 11
3631, 35mpbid 135 . . . . . . . . . 10
376nnzd 8359 . . . . . . . . . . 11
3816nnzd 8359 . . . . . . . . . . 11
39 eluz 8486 . . . . . . . . . . 11
4037, 38, 39syl2anc 391 . . . . . . . . . 10
4136, 40mpbird 156 . . . . . . . . 9
42 cvg1n.cau . . . . . . . . . . . 12
43 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4443oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4544breq2d 3776 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4643breq1d 3774 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4745, 46anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847cbvralv 2533 . . . . . . . . . . . . . 14
4948ralbii 2330 . . . . . . . . . . . . 13
50 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . . 15
51 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
52 oveq2 5520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5352oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5451, 53breq12d 3777 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5551, 52oveq12d 5530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5655breq2d 3776 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5754, 56anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . 15
5850, 57raleqbidv 2517 . . . . . . . . . . . . . 14
5958cbvralv 2533 . . . . . . . . . . . . 13
6049, 59bitri 173 . . . . . . . . . . . 12
6142, 60sylib 127 . . . . . . . . . . 11
6261ad2antrr 457 . . . . . . . . . 10
63 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . 12
64 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . 14
65 oveq2 5520 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . . . 14
6764, 66breq12d 3777 . . . . . . . . . . . . 13
6864, 65oveq12d 5530 . . . . . . . . . . . . . 14
6968breq2d 3776 . . . . . . . . . . . . 13
7067, 69anbi12d 442 . . . . . . . . . . . 12
7163, 70raleqbidv 2517 . . . . . . . . . . 11
7271rspcv 2652 . . . . . . . . . 10
736, 62, 72sylc 56 . . . . . . . . 9
74 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . 13
7574oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . 12
7675breq2d 3776 . . . . . . . . . . 11
7774breq1d 3774 . . . . . . . . . . 11
7876, 77anbi12d 442 . . . . . . . . . 10
7978rspcv 2652 . . . . . . . . 9
8041, 73, 79sylc 56 . . . . . . . 8
8121oveq1d 5527 . . . . . . . . . 10
8281breq2d 3776 . . . . . . . . 9
8321breq1d 3774 . . . . . . . . 9
8482, 83anbi12d 442 . . . . . . . 8
8580, 84mpbird 156 . . . . . . 7
8612breq1d 3774 . . . . . . . 8
8712oveq1d 5527 . . . . . . . . 9
8887breq2d 3776 . . . . . . . 8
8986, 88anbi12d 442 . . . . . . 7
9085, 89mpbird 156 . . . . . 6
9190simpld 105 . . . . 5
925nnred 7927 . . . . . . . 8
931nnrpd 8621 . . . . . . . 8
94 cvg1nlem.start . . . . . . . . 9
9594ad2antrr 457 . . . . . . . 8
9625, 92, 93, 95ltmul1dd 8678 . . . . . . 7
976nncnd 7928 . . . . . . . . . 10
9897mulid2d 7045 . . . . . . . . 9
9998breq2d 3776 . . . . . . . 8
100 1red 7042 . . . . . . . . 9
1016nnrpd 8621 . . . . . . . . 9
10225, 93, 100, 101lt2mul2divd 8685 . . . . . . . 8
1031nncnd 7928 . . . . . . . . . 10
1045nncnd 7928 . . . . . . . . . 10
105103, 104mulcomd 7048 . . . . . . . . 9
106105breq2d 3776 . . . . . . . 8
10799, 102, 1063bitr3d 207 . . . . . . 7
10896, 107mpbird 156 . . . . . 6
10926, 28, 22, 108ltadd2dd 7419 . . . . 5
11013, 27, 29, 91, 109lttrd 7140 . . . 4
11113, 26readdcld 7055 . . . . 5
11213, 28readdcld 7055 . . . . 5
11390simprd 107 . . . . 5
11426, 28, 13, 108ltadd2dd 7419 . . . . 5
11522, 111, 112, 113, 114lttrd 7140 . . . 4
116110, 115jca 290 . . 3
117116ralrimiva 2392 . 2
118117ralrimiva 2392 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1243   wcel 1393  wral 2306   class class class wbr 3764   cmpt 3818  wf 4898  cfv 4902  (class class class)co 5512  cr 6888  c1 6890   caddc 6892   cmul 6894   clt 7060   cle 7061   cdiv 7651  cn 7914  cz 8245  cuz 8473  crp 8583 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584 This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  9584
 Copyright terms: Public domain W3C validator