ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  csbrng Unicode version

Theorem csbrng 4782
Description: Distribute proper substitution through the range of a class. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
csbrng  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B )

Proof of Theorem csbrng
Dummy variables  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbabg 2907 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B } )
2 sbcexg 2813 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B ) )
3 sbcel2g 2871 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
43exbidv 1706 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
52, 4bitrd 177 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
65abbidv 2155 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } )
71, 6eqtrd 2072 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } )
8 dfrn3 4524 . . 3  |-  ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }
98csbeq2i 2876 . 2  |-  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }
10 dfrn3 4524 . 2  |-  ran  [_ A  /  x ]_ B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B }
117, 9, 103eqtr4g 2097 1  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1243   E.wex 1381    e. wcel 1393   {cab 2026   [.wsbc 2764   [_csb 2852   <.cop 3378   ran crn 4346
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356
This theorem is referenced by:  sbcfg  5045
  Copyright terms: Public domain W3C validator