Theorem codir 4656

Description: Two ways of saying a relation is directed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
codir	|- ((A X. B) C_ ( `' R o. R) <-> A.x e. A A.y e. B E.z(x Rz /\ y Rz))

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x, R,y,z

Proof of Theorem codir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4317	. . . 4 |- ( <.x , y >. e. (A X. B) <-> (x e. A /\ y e. B))
2		df-br 3756	. . . . 5 |- (x( `' R o. R)y <-> <.x , y >. e. ( `' R o. R))
3		vex 2554	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2554	. . . . . 6 |- y e. _V
5		brcodir 4655	. . . . . 6 |- ((x e. _V /\ y e. _V) -> (x( `' R o. R)y <-> E.z(x Rz /\ y Rz)))
6	3, 4, 5	mp2an 402	. . . . 5 |- (x( `' R o. R)y <-> E.z(x Rz /\ y Rz))
7	2, 6	bitr3i 175	. . . 4 |- ( <.x , y >. e. ( `' R o. R) <-> E.z(x Rz /\ y Rz))
8	1, 7	imbi12i 228	. . 3 |- (( <.x , y >. e. (A X. B) -> <.x , y >. e. ( `' R o. R)) <-> ((x e. A /\ y e. B) -> E.z(x Rz /\ y Rz)))
9	8	2albii 1357	. 2 |- (A.xA.y( <.x , y >. e. (A X. B) -> <.x , y >. e. ( `' R o. R)) <-> A.xA.y((x e. A /\ y e. B) -> E.z(x Rz /\ y Rz)))
10		relxp 4390	. . 3 |- Rel (A X. B)
11		ssrel 4371	. . 3 |- ( Rel (A X. B) -> ((A X. B) C_ ( `' R o. R) <-> A.xA.y( <.x , y >. e. (A X. B) -> <.x , y >. e. ( `' R o. R))))
12	10, 11	ax-mp 7	. 2 |- ((A X. B) C_ ( `' R o. R) <-> A.xA.y( <.x , y >. e. (A X. B) -> <.x , y >. e. ( `' R o. R)))
13		r2al 2337	. 2 |- (A.x e. A A.y e. B E.z(x Rz /\ y Rz) <-> A.xA.y((x e. A /\ y e. B) -> E.z(x Rz /\ y Rz)))
14	9, 12, 13	3bitr4i 201	1 |- ((A X. B) C_ ( `' R o. R) <-> A.x e. A A.y e. B E.z(x Rz /\ y Rz))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98  A.wal 1240  E.wex 1378   e. wcel 1390  A.wral 2300   _Vcvv 2551   C_ wss 2911   <.cop 3370   class class class wbr 3755   X. cxp 4286   `'ccnv 4287   o. ccom 4292   Rel wrel 4293

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297

This theorem is referenced by: (None)