Theorem cnvsng 4806

Description: Converse of a singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 23-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnvsng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } )

Proof of Theorem cnvsng

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3549	. . . . 5 |- ( x = A -> <. x , y >. = <. A , y >. )
2	1	sneqd 3388	. . . 4 |- ( x = A -> { <. x , y >. } = { <. A , y >. } )
3	2	cnveqd 4511	. . 3 |- ( x = A -> `' { <. x , y >. } = `' { <. A , y >. } )
4		opeq2 3550	. . . 4 |- ( x = A -> <. y , x >. = <. y , A >. )
5	4	sneqd 3388	. . 3 |- ( x = A -> { <. y , x >. } = { <. y , A >. } )
6	3, 5	eqeq12d 2054	. 2 |- ( x = A -> ( `' { <. x , y >. } = { <. y , x >. } <-> `' { <. A , y >. } = { <. y , A >. } ) )
7		opeq2 3550	. . . . 5 |- ( y = B -> <. A , y >. = <. A , B >. )
8	7	sneqd 3388	. . . 4 |- ( y = B -> { <. A , y >. } = { <. A , B >. } )
9	8	cnveqd 4511	. . 3 |- ( y = B -> `' { <. A , y >. } = `' { <. A , B >. } )
10		opeq1 3549	. . . 4 |- ( y = B -> <. y , A >. = <. B , A >. )
11	10	sneqd 3388	. . 3 |- ( y = B -> { <. y , A >. } = { <. B , A >. } )
12	9, 11	eqeq12d 2054	. 2 |- ( y = B -> ( `' { <. A , y >. } = { <. y , A >. } <-> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } ) )
13		vex 2560	. . 3 |- x e. _V
14		vex 2560	. . 3 |- y e. _V
15	13, 14	cnvsn 4803	. 2 |- `' { <. x , y >. } = { <. y , x >. }
16	6, 12, 15	vtocl2g 2617	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   {csn 3375   <.cop 3378   `'ccnv 4344

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353

This theorem is referenced by:  opswapg  4807  funsng  4946