ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvsng Unicode version

Theorem cnvsng 4793
Description: Converse of a singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 23-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnvsng  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } )

Proof of Theorem cnvsng
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opeq1 3546 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  <. x ,  y >.  =  <. A ,  y >. )
21sneqd 3385 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  { <. x ,  y >. }  =  { <. A ,  y
>. } )
32cnveqd 4498 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  `' { <. x ,  y
>. }  =  `' { <. A ,  y >. } )
4 opeq2 3547 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  <. y ,  x >.  =  <. y ,  A >. )
54sneqd 3385 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  { <. y ,  x >. }  =  { <. y ,  A >. } )
63, 5eqeq12d 2054 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( `' { <. x ,  y
>. }  =  { <. y ,  x >. }  <->  `' { <. A ,  y >. }  =  { <. y ,  A >. } ) )
7 opeq2 3547 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  <. A , 
y >.  =  <. A ,  B >. )
87sneqd 3385 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  { <. A ,  y >. }  =  { <. A ,  B >. } )
98cnveqd 4498 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  `' { <. A ,  y
>. }  =  `' { <. A ,  B >. } )
10 opeq1 3546 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  <. y ,  A >.  =  <. B ,  A >. )
1110sneqd 3385 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  { <. y ,  A >. }  =  { <. B ,  A >. } )
129, 11eqeq12d 2054 . 2  |-  ( y  =  B  ->  ( `' { <. A ,  y
>. }  =  { <. y ,  A >. }  <->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } ) )
13 vex 2557 . . 3  |-  x  e. 
_V
14 vex 2557 . . 3  |-  y  e. 
_V
1513, 14cnvsn 4790 . 2  |-  `' { <. x ,  y >. }  =  { <. y ,  x >. }
166, 12, 15vtocl2g 2614 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    = wceq 1243    e. wcel 1393   {csn 3372   <.cop 3375   `'ccnv 4331
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3872  ax-pow 3924  ax-pr 3941
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2308  df-rex 2309  df-v 2556  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-br 3762  df-opab 3816  df-xp 4338  df-rel 4339  df-cnv 4340
This theorem is referenced by:  opswapg  4794  funsng  4933
  Copyright terms: Public domain W3C validator