Theorem cnv0 4727

Description: The converse of the empty set. (Contributed by NM, 6-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnv0	|- `' (/) = (/)

Proof of Theorem cnv0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4703	. 2 |- Rel `' (/)
2		rel0 4462	. 2 |- Rel (/)
3		vex 2560	. . . 4 |- x e. _V
4		vex 2560	. . . 4 |- y e. _V
5	3, 4	opelcnv 4517	. . 3 |- ( <. x , y >. e. `' (/) <-> <. y , x >. e. (/) )
6		noel 3228	. . . 4 |- -. <. x , y >. e. (/)
7		noel 3228	. . . 4 |- -. <. y , x >. e. (/)
8	6, 7	2false 617	. . 3 |- ( <. x , y >. e. (/) <-> <. y , x >. e. (/) )
9	5, 8	bitr4i 176	. 2 |- ( <. x , y >. e. `' (/) <-> <. x , y >. e. (/) )
10	1, 2, 9	eqrelriiv 4434	1 |- `' (/) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1243   e. wcel 1393   (/)c0 3224   <.cop 3378   `'ccnv 4344

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353

This theorem is referenced by:  xp0  4743  cnveq0  4777  co01  4835  f10  5160  f1o00  5161  tpos0  5889