Theorem climcn1 9829

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcn1.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climcn1.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climcn1.3	|- ( ph -> A e. B )
climcn1.4	|- ( ( ph /\ z e. B ) -> ( F ` z ) e. CC )
climcn1.5	|- ( ph -> G ~~> A )
climcn1.6	|- ( ph -> H e. W )
climcn1.7	|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
climcn1.8	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. B )
climcn1.9	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
climcn1	|- ( ph -> H ~~> ( F ` A ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, z, A   B, k, z   k, G, y, z   k, H, x   k, F, x, y, z   ph, k, x, y, z   k, Z, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   G( x)   H( y, z)   M( x, y, z, k)   W( x, y, z, k)   Z( x, z)

Proof of Theorem climcn1

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcn1.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
2		climcn1.1	. . . . . . . 8 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		climcn1.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
4	3	adantr 261	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> M e. ZZ )
5		simpr 103	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
6		eqidd 2041	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
7		climcn1.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G ~~> A )
8	7	adantr 261	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> G ~~> A )
9	2, 4, 5, 6, 8	climi2 9809	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y )
10	2	uztrn2 8490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
11		climcn1.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. B )
12	11	adantlr 446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. B )
13		oveq1 5519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( G ` k ) -> ( z - A ) = ( ( G ` k ) - A ) )
14	13	fveq2d 5182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( G ` k ) -> ( abs ` ( z - A ) ) = ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) )
15	14	breq1d 3774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( G ` k ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) < y <-> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
16		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( G ` k ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
17	16	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( G ` k ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) = ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) )
18	17	fveq2d 5182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( G ` k ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) )
19	18	breq1d 3774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( G ` k ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
20	15, 19	imbi12d 223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( G ` k ) -> ( ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) <-> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) )
21	20	rspcva 2654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G ` k ) e. B /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
22	12, 21	sylan 267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
23	22	an32s 502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
24	10, 23	sylan2 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
25	24	anassrs 380	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
26	25	ralimdva 2387	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
27	26	reximdva 2421	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
28	27	ex 108	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) )
29	9, 28	mpid 37	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
30	29	rexlimdva 2433	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. RR+ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
31	30	adantr 261	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
32	1, 31	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x )
33	32	ralrimiva 2392	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x )
34		climcn1.6	. . 3 |- ( ph -> H e. W )
35		climcn1.9	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
36		climcn1.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. B )
37		climcn1.4	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> ( F ` z ) e. CC )
38	37	ralrimiva 2392	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. B ( F ` z ) e. CC )
39		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( F ` z ) = ( F ` A ) )
40	39	eleq1d 2106	. . . . 5 |- ( z = A -> ( ( F ` z ) e. CC <-> ( F ` A ) e. CC ) )
41	40	rspcv 2652	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A. z e. B ( F ` z ) e. CC -> ( F ` A ) e. CC ) )
42	36, 38, 41	sylc 56	. . 3 |- ( ph -> ( F ` A ) e. CC )
43	38	adantr 261	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A. z e. B ( F ` z ) e. CC )
44	16	eleq1d 2106	. . . . 5 |- ( z = ( G ` k ) -> ( ( F ` z ) e. CC <-> ( F ` ( G ` k ) ) e. CC ) )
45	44	rspcv 2652	. . . 4 |- ( ( G ` k ) e. B -> ( A. z e. B ( F ` z ) e. CC -> ( F ` ( G ` k ) ) e. CC ) )
46	11, 43, 45	sylc 56	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` ( G ` k ) ) e. CC )
47	2, 3, 34, 35, 42, 46	clim2c 9805	. 2 |- ( ph -> ( H ~~> ( F ` A ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
48	33, 47	mpbird 156	1 |- ( ph -> H ~~> ( F ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   class class class wbr 3764   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   CCcc 6887   < clt 7060   - cmin 7182   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473   RR+crp 8583   abscabs 9595   ~~> cli 9799

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-clim 9800

This theorem is referenced by:  climcn1lem  9839