Theorem climcau 9866

Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. The converse would require excluded middle or a different definition of Cauchy sequence (for example, fixing a rate of convergence as in climcvg1n 9869). Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcau.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
climcau	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )

Distinct variable groups:   j, k, x, F   j, M, k, x   j, Z, k, x

Proof of Theorem climcau

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm2g 4531	. . . 4 |- ( F e. dom ~~> -> ( F e. dom ~~> <-> E. y <. F , y >. e. ~~> ) )
2	1	ibi 165	. . 3 |- ( F e. dom ~~> -> E. y <. F , y >. e. ~~> )
3		df-br 3765	. . . . 5 |- ( F ~~> y <-> <. F , y >. e. ~~> )
4		climcau.1	. . . . . . . . 9 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5		simpll 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> M e. ZZ )
6		rphalfcl 8610	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( x / 2 ) e. RR+ )
7	6	adantl 262	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> ( x / 2 ) e. RR+ )
8		eqidd 2041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
9		simplr 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> F ~~> y )
10	4, 5, 7, 8, 9	climi 9808	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) )
11		eluzelz 8482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
12		uzid 8487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
14	13, 4	eleq2s 2132	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
15	14	adantl 262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
16		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
17	16	eleq1d 2106	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` j ) e. CC ) )
18	16	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) - y ) = ( ( F ` j ) - y ) )
19	18	fveq2d 5182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) = ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) )
20	19	breq1d 3774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) <-> ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) )
21	17, 20	anbi12d 442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
22	21	rspcv 2652	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
23	15, 22	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
24		rpre 8589	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
25	24	ad2antlr 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> x e. RR )
26		simpllr 486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> F ~~> y )
27		climcl 9803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ~~> y -> y e. CC )
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> y e. CC )
29		simprl 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
30		simplrl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( F ` j ) e. CC )
31		simpllr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> y e. CC )
32		simplll 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> x e. RR )
33		simprr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) )
34	31, 30	abssubd 9789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( y - ( F ` j ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) )
35		simplrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) )
36	34, 35	eqbrtrd 3784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( y - ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) )
37	29, 30, 31, 32, 33, 36	abs3lemd 9797	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
38	37	ex 108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
39	38	ralimdv 2388	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
40	39	ex 108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ y e. CC ) -> ( ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
41	40	com23 72	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ y e. CC ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
42	25, 28, 41	syl2anc 391	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
43	23, 42	mpdd 36	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
44	43	reximdva 2421	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
45	10, 44	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
46	45	ralrimiva 2392	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
47	46	ex 108	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( F ~~> y -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
48	3, 47	syl5bir 142	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( <. F , y >. e. ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
49	48	exlimdv 1700	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( E. y <. F , y >. e. ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
50	2, 49	syl5 28	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( F e. dom ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
51	50	imp 115	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   <.cop 3378   class class class wbr 3764   dom cdm 4345   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   CCcc 6887   RRcr 6888   < clt 7060   - cmin 7182   / cdiv 7651   2c2 7964   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473   RR+crp 8583   abscabs 9595   ~~> cli 9799

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003  ax-caucvg 7004

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255  df-cj 9442  df-re 9443  df-im 9444  df-rsqrt 9596  df-abs 9597  df-clim 9800

This theorem is referenced by:  climcaucn  9870