Theorem cleqh 2137

Description: Establish equality between classes, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. See also cleqf 2201. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Hypotheses

Ref	Expression
cleqh.1	|- ( y e. A -> A. x y e. A )
cleqh.2	|- ( y e. B -> A. x y e. B )

Assertion

Ref	Expression
cleqh	|- ( A = B <-> A. x ( x e. A <-> x e. B ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem cleqh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcleq 2034	. 2 |- ( A = B <-> A. y ( y e. A <-> y e. B ) )
2		ax-17 1419	. . . 4 |- ( ( x e. A <-> x e. B ) -> A. y ( x e. A <-> x e. B ) )
3		dfbi2 368	. . . . 5 |- ( ( y e. A <-> y e. B ) <-> ( ( y e. A -> y e. B ) /\ ( y e. B -> y e. A ) ) )
4		cleqh.1	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> A. x y e. A )
5		cleqh.2	. . . . . . 7 |- ( y e. B -> A. x y e. B )
6	4, 5	hbim 1437	. . . . . 6 |- ( ( y e. A -> y e. B ) -> A. x ( y e. A -> y e. B ) )
7	5, 4	hbim 1437	. . . . . 6 |- ( ( y e. B -> y e. A ) -> A. x ( y e. B -> y e. A ) )
8	6, 7	hban 1439	. . . . 5 |- ( ( ( y e. A -> y e. B ) /\ ( y e. B -> y e. A ) ) -> A. x ( ( y e. A -> y e. B ) /\ ( y e. B -> y e. A ) ) )
9	3, 8	hbxfrbi 1361	. . . 4 |- ( ( y e. A <-> y e. B ) -> A. x ( y e. A <-> y e. B ) )
10		eleq1 2100	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
11		eleq1 2100	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. B <-> y e. B ) )
12	10, 11	bibi12d 224	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x e. A <-> x e. B ) <-> ( y e. A <-> y e. B ) ) )
13	12	biimpd 132	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x e. A <-> x e. B ) -> ( y e. A <-> y e. B ) ) )
14	2, 9, 13	cbv3h 1631	. . 3 |- ( A. x ( x e. A <-> x e. B ) -> A. y ( y e. A <-> y e. B ) )
15	12	equcoms 1594	. . . . 5 |- ( y = x -> ( ( x e. A <-> x e. B ) <-> ( y e. A <-> y e. B ) ) )
16	15	biimprd 147	. . . 4 |- ( y = x -> ( ( y e. A <-> y e. B ) -> ( x e. A <-> x e. B ) ) )
17	9, 2, 16	cbv3h 1631	. . 3 |- ( A. y ( y e. A <-> y e. B ) -> A. x ( x e. A <-> x e. B ) )
18	14, 17	impbii 117	. 2 |- ( A. x ( x e. A <-> x e. B ) <-> A. y ( y e. A <-> y e. B ) )
19	1, 18	bitr4i 176	1 |- ( A = B <-> A. x ( x e. A <-> x e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1350  df-cleq 2033  df-clel 2036

This theorem is referenced by:  abeq2  2146