ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemcl Unicode version

Theorem caucvgsrlemcl 6873
Description: Lemma for caucvgsr 6886. Terms of the sequence from caucvgsrlemgt1 6879 can be mapped to positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsrlemcl.f  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
caucvgsrlemcl.gt1  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( F `  m ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemcl  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `
 A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  e. 
P. )
Distinct variable groups:    A, m    y, A    m, F    y, F
Allowed substitution hints:    ph( y, m)

Proof of Theorem caucvgsrlemcl
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlemcl.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
21ffvelrnda 5302 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  ( F `
 A )  e. 
R. )
3 0lt1sr 6850 . . . . 5  |-  0R  <R  1R
4 caucvgsrlemcl.gt1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( F `  m ) )
5 fveq2 5178 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  A  ->  ( F `  m )  =  ( F `  A ) )
65breq2d 3776 . . . . . . 7  |-  ( m  =  A  ->  ( 1R  <R  ( F `  m )  <->  1R  <R  ( F `  A )
) )
76rspcv 2652 . . . . . 6  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A. m  e.  N.  1R  <R  ( F `  m )  ->  1R  <R  ( F `  A
) ) )
84, 7mpan9 265 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  1R  <R  ( F `  A ) )
9 ltsosr 6849 . . . . . 6  |-  <R  Or  R.
10 ltrelsr 6823 . . . . . 6  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
119, 10sotri 4720 . . . . 5  |-  ( ( 0R  <R  1R  /\  1R  <R  ( F `  A
) )  ->  0R  <R  ( F `  A
) )
123, 8, 11sylancr 393 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  0R  <R  ( F `  A ) )
13 srpospr 6867 . . . 4  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  R.  /\  0R  <R  ( F `  A ) )  ->  E! y  e.  P.  [
<. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )
142, 12, 13syl2anc 391 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  E! y  e.  P.  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )
15 eqcom 2042 . . . 4  |-  ( [
<. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A )  <->  ( F `  A )  =  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
1615reubii 2495 . . 3  |-  ( E! y  e.  P.  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A )  <->  E! y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
1714, 16sylib 127 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  E! y  e.  P.  ( F `
 A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
18 riotacl 5482 . 2  |-  ( E! y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  ->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  e. 
P. )
1917, 18syl 14 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `
 A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  e. 
P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    = wceq 1243    e. wcel 1393   A.wral 2306   E!wreu 2308   <.cop 3378   class class class wbr 3764   -->wf 4898   ` cfv 4902   iota_crio 5467  (class class class)co 5512   [cec 6104   N.cnpi 6370   P.cnp 6389   1Pc1p 6390    +P. cpp 6391    ~R cer 6394   R.cnr 6395   0Rc0r 6396   1Rc1r 6397    <R cltr 6401
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemfv  6875  caucvgsrlemf  6876
  Copyright terms: Public domain W3C validator