Theorem caucvgsrlembnd 6885

Description: Lemma for caucvgsr 6886. A Cauchy sequence with a lower bound converges. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlembnd	|- ( ph -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k, n   A, j, l, u, k   A, m, k   x, A, j, k, y   k, F, n   j, F, l, u   m, F   x, F, y   ph, k, n   ph, j, x   ph, m   n, l, u   m, n

Allowed substitution hints:   ph( y, u, l)

Proof of Theorem caucvgsrlembnd

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. 2 |- ( ph -> F : N. --> R. )
2		caucvgsr.cau	. 2 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
3		caucvgsrlembnd.bnd	. 2 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
4		fveq2 5178	. . . . 5 |- ( a = b -> ( F ` a ) = ( F ` b ) )
5	4	oveq1d 5527	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( F ` a ) +R 1R ) = ( ( F ` b ) +R 1R ) )
6	5	oveq1d 5527	. . 3 |- ( a = b -> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) = ( ( ( F ` b ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
7	6	cbvmptv 3852	. 2 |- ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) ) = ( b e. N. |-> ( ( ( F ` b ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
8	1, 2, 3, 7	caucvgsrlemoffres 6884	1 |- ( ph -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   {cab 2026   A.wral 2306   E.wrex 2307   <.cop 3378   class class class wbr 3764   |-> cmpt 3818   -->wf 4898   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   1oc1o 5994   [cec 6104   N.cnpi 6370   <N clti 6373   ~Q ceq 6377   *Qcrq 6382   <Q cltq 6383   1Pc1p 6390   +P. cpp 6391   ~R cer 6394   R.cnr 6395   0Rc0r 6396   1Rc1r 6397   -1Rcm1r 6398   +R cplr 6399   .R cmr 6400   <R cltr 6401

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-imp 6567  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-plr 6813  df-mr 6814  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-m1r 6818

This theorem is referenced by:  caucvgsr  6886