ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgprlemcl Unicode version

Theorem caucvgprlemcl 6647
Description: Lemma for caucvgpr 6653. The putative limit is a positive real. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgpr.f  F : N. --> Q.
caucvgpr.cau  n  N.  k  N.  n  <N  k  F `  n 
<Q  F `  k  +Q  *Q `  <. n ,  1o >.  ~Q  F `  k  <Q  F `  n  +Q  *Q `  <. n ,  1o >.  ~Q
caucvgpr.bnd  j  N.  <Q  F `  j
caucvgpr.lim  L 
<. { l  Q.  |  j  N.  l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j } ,  {  Q.  |  j  N.  F `  j  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  } >.
Assertion
Ref Expression
caucvgprlemcl  L  P.
Distinct variable groups:   , j    j, F, l   , F, j   
n, F, k    j,
k, L    k, n
Allowed substitution hints:   (, j, k, n, l)   (, k, n, l)    L(, n, l)

Proof of Theorem caucvgprlemcl
Dummy variables  s  a  c  d  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgpr.f . . . 4  F : N. --> Q.
2 caucvgpr.cau . . . 4  n  N.  k  N.  n  <N  k  F `  n 
<Q  F `  k  +Q  *Q `  <. n ,  1o >.  ~Q  F `  k  <Q  F `  n  +Q  *Q `  <. n ,  1o >.  ~Q
3 caucvgpr.bnd . . . . 5  j  N.  <Q  F `  j
4 fveq2 5121 . . . . . . 7  j  a  F `  j  F `  a
54breq2d 3767 . . . . . 6  j  a  <Q  F `  j  <Q  F `  a
65cbvralv 2527 . . . . 5  j  N.  <Q  F `  j  a  N.  <Q  F `  a
73, 6sylib 127 . . . 4  a  N.  <Q  F `  a
8 caucvgpr.lim . . . . 5  L 
<. { l  Q.  |  j  N.  l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j } ,  {  Q.  |  j  N.  F `  j  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  } >.
9 opeq1 3540 . . . . . . . . . . . . 13  j  a  <. j ,  1o >.  <. a ,  1o >.
109eceq1d 6078 . . . . . . . . . . . 12  j  a  <. j ,  1o >. 
~Q  <. a ,  1o >.  ~Q
1110fveq2d 5125 . . . . . . . . . . 11  j  a  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  *Q `  <. a ,  1o >. 
~Q
1211oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10  j  a 
l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  l  +Q  *Q `  <. a ,  1o >. 
~Q
1312, 4breq12d 3768 . . . . . . . . 9  j  a  l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  l  +Q  *Q `  <. a ,  1o >. 
~Q  <Q  F `  a
1413cbvrexv 2528 . . . . . . . 8  j  N. 
l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j  a  N.  l  +Q  *Q `  <. a ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  a
1514a1i 9 . . . . . . 7  l  Q.  j  N.  l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  a  N.  l  +Q  *Q `  <. a ,  1o >. 
~Q  <Q  F `  a
1615rabbiia 2541 . . . . . 6  { l  Q.  |  j  N. 
l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j }  {
l  Q.  |  a  N.  l  +Q  *Q `  <. a ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  a }
174, 11oveq12d 5473 . . . . . . . . . 10  j  a  F `  j  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  F `
 a  +Q  *Q `  <. a ,  1o >.  ~Q
1817breq1d 3765 . . . . . . . . 9  j  a  F `  j  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  a  +Q  *Q `  <. a ,  1o >. 
~Q  <Q
1918cbvrexv 2528 . . . . . . . 8  j  N.  F `  j  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  a  N.  F `
 a  +Q  *Q `  <. a ,  1o >.  ~Q  <Q
2019a1i 9 . . . . . . 7  Q.  j  N.  F `  j  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  a  N.  F `
 a  +Q  *Q `  <. a ,  1o >.  ~Q  <Q
2120rabbiia 2541 . . . . . 6  {  Q.  |  j  N.  F `
 j  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  }  {  Q.  |  a  N.  F `  a  +Q  *Q `  <. a ,  1o >.  ~Q 
<Q  }
2216, 21opeq12i 3545 . . . . 5  <. { l  Q.  |  j  N. 
l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j } ,  {  Q.  |  j  N.  F `
 j  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  <. { l 
Q.  |  a  N.  l  +Q  *Q `  <. a ,  1o >. 
~Q  <Q  F `  a } ,  {  Q.  |  a  N.  F `
 a  +Q  *Q `  <. a ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.
238, 22eqtri 2057 . . . 4  L 
<. { l  Q.  |  a  N.  l  +Q  *Q `  <. a ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  a } ,  {  Q.  |  a  N.  F `  a  +Q  *Q `  <. a ,  1o >.  ~Q 
<Q  } >.
241, 2, 7, 23caucvgprlemm 6639 . . 3  s 
Q.  s  1st `  L  r  Q.  r  2nd `  L
25 ssrab2 3019 . . . . . 6  { l  Q.  |  j  N. 
l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j }  C_  Q.
26 nqex 6347 . . . . . . 7  Q.  _V
2726elpw2 3902 . . . . . 6  {
l  Q.  |  j  N.  l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j }  ~P Q.  { l 
Q.  |  j  N.  l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  F `  j }  C_  Q.
2825, 27mpbir 134 . . . . 5  { l  Q.  |  j  N. 
l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j }  ~P Q.
29 ssrab2 3019 . . . . . 6  {  Q.  |  j  N.  F `
 j  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  }  C_ 
Q.
3026elpw2 3902 . . . . . 6  {  Q.  |  j  N.  F `  j  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  }  ~P Q.  {  Q.  |  j  N.  F `  j  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  }  C_  Q.
3129, 30mpbir 134 . . . . 5  {  Q.  |  j  N.  F `
 j  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  }  ~P Q.
32 opelxpi 4319 . . . . 5  { l  Q.  |  j  N.  l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j }  ~P Q.  {  Q.  |  j  N.  F `
 j  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  }  ~P Q.  <. { l  Q.  |  j  N.  l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j } ,  {  Q.  |  j  N.  F `  j  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  } >.  ~P Q.  X.  ~P Q.
3328, 31, 32mp2an 402 . . . 4  <. { l  Q.  |  j  N. 
l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j } ,  {  Q.  |  j  N.  F `
 j  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  ~P Q.  X.  ~P Q.
348, 33eqeltri 2107 . . 3  L  ~P Q.  X.  ~P Q.
3524, 34jctil 295 . 2  L  ~P Q.  X.  ~P Q.  s  Q.  s  1st `  L  r  Q.  r  2nd `  L
361, 2, 7, 23caucvgprlemrnd 6644 . . 3  s 
Q.  s  1st `  L  r  Q.  s  <Q  r  r  1st `  L  r  Q.  r  2nd `  L  s  Q.  s  <Q 
r  s  2nd `  L
37 breq1 3758 . . . . . . 7  n  c  n  <N  k  c  <N 
k
38 fveq2 5121 . . . . . . . . 9  n  c  F `  n  F `  c
39 opeq1 3540 . . . . . . . . . . . 12  n  c  <. n ,  1o >.  <. c ,  1o >.
4039eceq1d 6078 . . . . . . . . . . 11  n  c  <. n ,  1o >. 
~Q  <. c ,  1o >.  ~Q
4140fveq2d 5125 . . . . . . . . . 10  n  c  *Q `  <. n ,  1o >.  ~Q  *Q `  <. c ,  1o >. 
~Q
4241oveq2d 5471 . . . . . . . . 9  n  c  F `  k  +Q  *Q `  <. n ,  1o >.  ~Q  F `
 k  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q
4338, 42breq12d 3768 . . . . . . . 8  n  c  F `  n 
<Q  F `  k  +Q  *Q `  <. n ,  1o >.  ~Q  F `  c  <Q  F `
 k  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q
4438, 41oveq12d 5473 . . . . . . . . 9  n  c  F `  n  +Q  *Q `  <. n ,  1o >.  ~Q  F `
 c  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q
4544breq2d 3767 . . . . . . . 8  n  c  F `  k 
<Q  F `  n  +Q  *Q `  <. n ,  1o >.  ~Q  F `  k  <Q  F `
 c  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q
4643, 45anbi12d 442 . . . . . . 7  n  c  F `  n  <Q  F `
 k  +Q  *Q `  <. n ,  1o >.  ~Q  F `  k  <Q  F `  n  +Q  *Q `  <. n ,  1o >.  ~Q  F `  c  <Q  F `  k  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q  F `  k  <Q  F `  c  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q
4737, 46imbi12d 223 . . . . . 6  n  c  n  <N  k  F `  n  <Q  F `
 k  +Q  *Q `  <. n ,  1o >.  ~Q  F `  k  <Q  F `  n  +Q  *Q `  <. n ,  1o >.  ~Q  c 
<N  k  F `  c 
<Q  F `  k  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q  F `  k  <Q  F `  c  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q
48 breq2 3759 . . . . . . 7  k  d 
c  <N  k  c  <N 
d
49 fveq2 5121 . . . . . . . . . 10  k  d  F `  k  F `  d
5049oveq1d 5470 . . . . . . . . 9  k  d  F `  k  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q  F `
 d  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q
5150breq2d 3767 . . . . . . . 8  k  d  F `  c 
<Q  F `  k  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q  F `  c  <Q  F `
 d  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q
5249breq1d 3765 . . . . . . . 8  k  d  F `  k 
<Q  F `  c  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q  F `  d  <Q  F `
 c  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q
5351, 52anbi12d 442 . . . . . . 7  k  d  F `  c  <Q  F `
 k  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q  F `  k  <Q  F `  c  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q  F `  c  <Q  F `  d  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q  F `  d  <Q  F `  c  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q
5448, 53imbi12d 223 . . . . . 6  k  d  c  <N  k  F `  c  <Q  F `
 k  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q  F `  k  <Q  F `  c  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q  c 
<N  d  F `  c 
<Q  F `  d  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q  F `  d  <Q  F `  c  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q
5547, 54cbvral2v 2535 . . . . 5  n  N.  k  N.  n  <N  k  F `  n  <Q  F `  k  +Q  *Q `  <. n ,  1o >.  ~Q  F `  k  <Q  F `
 n  +Q  *Q `  <. n ,  1o >.  ~Q  c  N.  d 
N.  c  <N 
d  F `  c  <Q  F `  d  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q  F `  d  <Q  F `  c  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q
562, 55sylib 127 . . . 4  c  N.  d  N. 
c  <N  d  F `  c 
<Q  F `  d  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q  F `  d  <Q  F `  c  +Q  *Q `  <. c ,  1o >.  ~Q
571, 56, 7, 23caucvgprlemdisj 6645 . . 3  s  Q.  s  1st `  L  s  2nd `  L
581, 2, 7, 23caucvgprlemloc 6646 . . 3  s  Q.  r  Q. 
s  <Q  r 
s  1st `  L  r  2nd `  L
5936, 57, 583jca 1083 . 2  s  Q.  s  1st `  L  r  Q.  s  <Q  r  r  1st `  L  r  Q.  r  2nd `  L  s  Q.  s  <Q 
r  s  2nd `  L  s  Q.  s  1st `  L  s  2nd `  L  s  Q.  r  Q. 
s  <Q  r 
s  1st `  L  r  2nd `  L
60 elnp1st2nd 6459 . 2  L  P.  L  ~P Q.  X.  ~P Q.  s  Q.  s  1st `  L  r  Q.  r  2nd `  L  s  Q.  s  1st `  L  r  Q.  s  <Q  r  r  1st `  L  r  Q.  r  2nd `  L  s  Q.  s  <Q 
r  s  2nd `  L  s  Q.  s  1st `  L  s  2nd `  L  s  Q.  r  Q. 
s  <Q  r 
s  1st `  L  r  2nd `  L
6135, 59, 60sylanbrc 394 1  L  P.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301   {crab 2304    C_ wss 2911   ~Pcpw 3351   <.cop 3370   class class class wbr 3755    X. cxp 4286   -->wf 4841   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   1stc1st 5707   2ndc2nd 5708   1oc1o 5933  cec 6040   N.cnpi 6256    <N clti 6259    ~Q ceq 6263   Q.cnq 6264    +Q cplq 6266   *Qcrq 6268    <Q cltq 6269   P.cnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-inp 6449
This theorem is referenced by:  caucvgprlemladdfu  6648  caucvgprlemladdrl  6649  caucvgprlem1  6650  caucvgprlem2  6651  caucvgpr  6653
  Copyright terms: Public domain W3C validator