Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgprlem2 Unicode version

Theorem caucvgprlem2 6778
 Description: Lemma for caucvgpr 6780. Part of showing the putative limit to be a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgpr.f
caucvgpr.cau
caucvgpr.bnd
caucvgpr.lim
caucvgprlemlim.q
caucvgprlemlim.jk
caucvgprlemlim.jkq
Assertion
Ref Expression
caucvgprlem2
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,,)   (,,)   (,,,,)   (,)   (,,)

Proof of Theorem caucvgprlem2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgprlemlim.jk . . . . 5
2 caucvgprlemlim.jkq . . . . 5
31, 2caucvgprlemk 6763 . . . 4
4 caucvgpr.f . . . . 5
5 ltrelpi 6422 . . . . . . . 8
65brel 4392 . . . . . . 7
71, 6syl 14 . . . . . 6
87simprd 107 . . . . 5
94, 8ffvelrnd 5303 . . . 4
10 ltanqi 6500 . . . 4
113, 9, 10syl2anc 391 . . 3
12 ltbtwnnqq 6513 . . 3
1311, 12sylib 127 . 2
14 simprl 483 . . . 4
158adantr 261 . . . . . 6
16 simprrl 491 . . . . . 6
17 fveq2 5178 . . . . . . . . 9
18 opeq1 3549 . . . . . . . . . . 11
1918eceq1d 6142 . . . . . . . . . 10
2019fveq2d 5182 . . . . . . . . 9
2117, 20oveq12d 5530 . . . . . . . 8
2221breq1d 3774 . . . . . . 7
2322rspcev 2656 . . . . . 6
2415, 16, 23syl2anc 391 . . . . 5
25 breq2 3768 . . . . . . 7
2625rexbidv 2327 . . . . . 6
27 caucvgpr.lim . . . . . . . 8
2827fveq2i 5181 . . . . . . 7
29 nqex 6461 . . . . . . . . 9
3029rabex 3901 . . . . . . . 8
3129rabex 3901 . . . . . . . 8
3230, 31op2nd 5774 . . . . . . 7
3328, 32eqtri 2060 . . . . . 6
3426, 33elrab2 2700 . . . . 5
3514, 24, 34sylanbrc 394 . . . 4
36 simprrr 492 . . . . . 6
37 vex 2560 . . . . . . 7
38 breq1 3767 . . . . . . 7
3937, 38elab 2687 . . . . . 6
4036, 39sylibr 137 . . . . 5
41 ltnqex 6647 . . . . . 6
42 gtnqex 6648 . . . . . 6
4341, 42op1st 5773 . . . . 5
4440, 43syl6eleqr 2131 . . . 4
45 rspe 2370 . . . 4
4614, 35, 44, 45syl12anc 1133 . . 3
47 caucvgpr.cau . . . . . 6
48 caucvgpr.bnd . . . . . 6
494, 47, 48, 27caucvgprlemcl 6774 . . . . 5
5049adantr 261 . . . 4
51 caucvgprlemlim.q . . . . . . 7
52 addclnq 6473 . . . . . . 7
539, 51, 52syl2anc 391 . . . . . 6
54 nqprlu 6645 . . . . . 6
5553, 54syl 14 . . . . 5
5655adantr 261 . . . 4
57 ltdfpr 6604 . . . 4
5850, 56, 57syl2anc 391 . . 3
5946, 58mpbird 156 . 2
6013, 59rexlimddv 2437 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1243   wcel 1393  cab 2026  wral 2306  wrex 2307  crab 2310  cop 3378   class class class wbr 3764  wf 4898  cfv 4902  (class class class)co 5512  c1st 5765  c2nd 5766  c1o 5994  cec 6104  cnpi 6370   clti 6373   ceq 6377  cnq 6378   cplq 6380  crq 6382   cltq 6383  cnp 6389   cltp 6393 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-inp 6564  df-iltp 6568 This theorem is referenced by:  caucvgprlemlim  6779
 Copyright terms: Public domain W3C validator